Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung als Ableitungen nach der Zeit

Differenzialrechnung in der Kinematik

Die Differenzialrechnung spielt in der Kinematik eine zentrale Rolle, um die Bewegung von Objekten mathematisch zu beschreiben und zu analysieren.

Ort und Geschwindigkeit

Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit die zeitliche Änderungsrate des Orts ist. In einem $s$-$t$-Diagramm entspricht die Geschwindigkeit der Steigung des Graphen. Bei einer gleichförmigen Bewegung lässt sich aufgrund des linearen Verhaltens die Steigung im Steigungsdreieck ablesen.

Beschleunigung

Momentangeschwindigkeit und $s$-$t$-Diagramm

Die Momentangeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt. In einem $s$-$t$-Diagramm ist das die Steigung der Tangente, die die Ortskurve $s(t)$ an einem bestimmten Zeitpunkt berührt. Für ungleichmäßige und nicht lineare Bewegungen, bei denen die Geschwindigkeit nicht konstant ist, ändert sich die Steigung der Kurve im $s$-$t$-Diagramm kontinuierlich.

Schiefer Wurf

Ein klassisches Beispiel in der Kinematik ist der schiefe Wurf, bei dem ein Objekt unter dem Einfluss der Schwerkraft in einer parabolischen Bahn geworfen wird.

Bewegungsgleichungen

Die folgenden zwei Bewegungsgleichungen beschreiben die horizontale Bewegung in $x$-Richtung und die vertikale Bewegung in $y$-Richtung:

$x(t) = v_0 \cdot \cos(\alpha) \cdot t $

$ y(t) = v_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot t - \dfrac{1}{2}\cdot g \cdot t^2 $

Hierbei ist $v_0 $ die Anfangsgeschwindigkeit, $\alpha$ der Abwurfwinkel und $g$ die Erdbeschleunigung.

Herleitung der Geschwindigkeit und Beschleunigung

Die horizontale Geschwindigkeit $(v_x(t))$ bleibt konstant:

$v_x(t) = \dfrac{\text{d}x(t)}{\text{d}t} = v_0 \cdot \cos(\alpha)$

Die vertikale Geschwindigkeit $( v_y(t) )$ ändert sich aufgrund der Schwerkraft:

$v_y(t) = \dfrac{\text{d}y(t)}{\text{d}t} = v_0 \cdot \sin(\alpha) - g\cdot t$

Da keine Kräfte in horizontaler Richtung wirken und die Geschwindigkeit sich nicht ändert, ist die horizontale Beschleunigung gleich null. Es gilt also $a_x (t) = 0$. Die vertikale Beschleunigung ist:

$a_y(t) = \dfrac{\text{d}v_y(t)}{\text{d}t} = -g$

Die maximale Höhe $h$ und die Flugzeit $T$ können ebenfalls berechnet werden, wenn die Bewegungsgleichung in $y$-Richtung $s_y (t)$ auf ihre Nullstellen und Extrempunkte analysiert wird.

Grafische Darstellung

In einem $s$-$t$-Diagramm für den schiefen Wurf ergibt sich eine Parabel für die vertikale Bewegung. Die Steigung der Tangente zu jedem Zeitpunkt gibt die Momentangeschwindigkeit an und die Krümmung der Kurve gibt die Beschleunigung an.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung als Ableitungen nach der Zeit