Die Atwood'sche Fallmaschine

Die atwoodsche Fallmaschine

Die atwoodsche Fallmaschine ist ein Experiment, das der Mathematiker George Atwood im 18. Jahrhundert entwickelte. Er wollte mit diesem Aufbau einen experimentellen Beweis für die newtonschen Gesetze der klassischen Mechanik erbringen.

Wir wollen uns im Folgenden auf das Aktionsprinzip im Zusammenhang mit der Fallmaschine konzentrieren und zeigen, wie man mit seiner Hilfe den Verlauf des Experiments vorhersagen kann. Wir erinnern uns: Das Aktionsprinzip stellt einen Zusammenhang zwischen der Beschleunigung $a$ eines Körpers, der Kraft $F$, die auf ihn wirkt, und seiner Masse $m$ her:

$F = m \cdot a$

Atwoodsche Fallmaschine – Aufbau

Die atwoodsche Fallmaschine besteht aus zwei Massen $M$ und $m_1$, die über eine Schnur miteinander verbunden sind. Die Schnur hängt so an einer Umlenkrolle, dass die Massen zu beiden Seiten der Rolle hängen. Wir nehmen außerdem an, dass die Rolle reibungsfrei ist.

Wir wollen im Folgenden herausfinden, wie sich die beiden Massen bewegen. Dazu überlegen wir uns zunächst, welche Kräfte wirken. Auf jede der beiden Massen wirkt die durch die Schwerebeschleunigung $g$ hervorgerufene Gewichtskraft. Wir bezeichnen die Gewichtskraft der Masse $m_1$ mit $F_{gm_1}$ und die Gewichtskraft der Masse $M$ mit $F_{gM}$:

$F_{gm_1} = m_1 \cdot g$

$F_{gM} = M \cdot g$

Beide Kräfte wirken nach unten, also in Richtung des Erdbodens. Die Masse $M$ soll größer sein als die Masse $m_1$, also:

$M > m_1 \Rightarrow F_{gM} > F_{gm_1}$

Deswegen können wir schon ohne Rechnung sagen, dass die Masse $M$ nach unten beschleunigen wird, während die kleinere Masse $m_1$ durch das Seil nach oben beschleunigt wird. Um die Bewegung genau bestimmen zu können, nutzen wir jetzt das Aktionsprinzip, also den Zusammenhang $F=m \cdot a$.

Atwoodsche Fallmaschine – Formel

Unabhängig davon, wie sich die Massen bewegen, werden in jedem Fall beide Massen insgesamt durch die gleiche Beschleunigung $a$ beschleunigt, weil sie über das Seil verbunden sind. Daher können wir die folgende Formel aufstellen:

$F = (M + m_1) \cdot a$

Die Kräfte können wir zu einer Gesamtkraft durch Addition zusammenfügen. Dafür müssen wir zunächst allerdings ein Koordinatensystem wählen. Dadurch, dass die Massen durch das Seil miteinander verbunden sind, können wir die Kraft $F_{gm_1}$ so verschieben, dass sie an der Masse $M$ angreift. Sie zeigt dann allerdings nicht mehr nach unten, sondern nach oben, denn sie wird durch die Umlenkrolle umgelenkt. Wenn wir nun den Nullpunkt in den Schwerpunkt der Masse legen, hat die Kraft $F_{gM}$ ein positives Vorzeichen und die Kraft $F_{gm_1}$ ein negatives.

Damit erhalten wir die Gesamtkraft:

$F = F_{gM} - F_{gm_1} = (M-m_1) \cdot g$

Das können wir mit der ersten Formel, die wir mithilfe der Massen aufgestellt haben, gleichsetzen:

$F = F_{gM} - F_{gm_1} = (M-m_1) \cdot g = (M +m_1) \cdot a $

Diese Formel müssen wir jetzt nur noch nach der Beschleunigung $a$ umstellen und wir erhalten:

$a = g \frac{M-m_1}{M+m_1}$

Damit haben wir für die atwoodsche Fallmaschine die Beschleunigung bestimmt. Wir können außerdem die Formel für den Ort $x$ einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung verwenden:

$x(t) = \frac{1}{2} a t^{2} + v_0 t + x_0$

Dabei ist $t$ die Zeit, $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit und $x_0$ der Anfangsort. Da die Geschwindigkeit zu Beginn null sein soll und wir den Nullpunkt des Koordinatensystems in den Schwerpunkt der Masse $M$ gelegt haben, erhalten wir nach Einsetzen für $a$:

$x(t) = \frac{1}{2} g \frac{M-m_1}{M+m_1}t^{2}$

Damit haben wir die Bewegung der Masse $M$ in der atwoodschen Fallmaschine vollständig bestimmt und können die Bewegung für jede beliebige Konstellation der Massen vorhersagen.

Atwoodsche Fallmaschine – Zusammenfassung

In diesem Video wird dir die atwoodsche Fallmaschine einfach erklärt. Du lernst auch, wie man die newtonschen Gesetze nutzen kann, um die Bewegung der großen Masse $M$ genau zu berechnen.