Mathematische Beschreibung des Federpendels

Mathematische Beschreibung des Federpendels

Mechanische Schwingungen und ihre mathematische Beschreibung spielen in der Physik eine wichtige Rolle. Das Federpendel ist ein besonders einfaches und anschauliches Beispiel, an dem wir die mathematische Beschreibung von Schwingungen nachvollziehen können. Bevor wir damit beginnen, wiederholen wir, was ein Federpendel ist.

Das Federpendel

Ein Federpendel besteht aus einer Schraubenfeder, die an einem Ende stabil fixiert ist und an deren anderem Ende eine Masse $m$ hängt. Solange nur die Schwerkraft auf die Masse wirkt, befindet sich das Federpendel in seiner Ruhelage. Sobald die Masse jedoch durch eine Kraft aus der Ruhelage ausgelenkt wird, wirkt eine rücktreibende Kraft $F_r$, die das Federpendel in Schwingung versetzt.

Wenn Reibungsverluste vernachlässigt werden, führt das Pendel harmonische Schwingungen aus. Die Amplitude, also die maximale Auslenkung, ist dann zeitlich konstant.

Das Federpendel – Herleitung der Formel

Wir wollen nun eine Formel herleiten, mit der wir den zeitlichen Verlauf der Auslenkung des Pendels beschreiben können. Dazu betrachten wir zunächst die rücktreibende Kraft $F_r$, die durch das hookesche Gesetz beschrieben werden kann:

$F_r = -Dy(t)$

Hierbei ist $D$ die Federkonstante und $y$ die Auslenkung aus der Ruhelage. Nach dem Aktionsprinzip führt diese Kraft zu einer Beschleunigung der Masse:

$a(t) = \frac{F_r}{m} \Leftrightarrow F_r = ma(t)$

Wir können diese beiden Gleichungen nun gleichsetzen und erhalten damit:

$ma(t) = -Dy(t)$

Die Beschleunigung $a$ können wir auch als die zweifache Ableitung des Ortes $y$ nach der Zeit schreiben: (Die zeitliche Änderung des Ortes ist die Geschwindigkeit und die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit die Beschleunigung.)

$a(t) = \frac{ \text{d}^{2}y(t) }{ \text{d} t } $

Wenn wir diese Schreibweise einsetzen und außerdem auf beiden Seiten durch $m$ teilen, sieht die Gleichung folgendermaßen aus:

$ \frac{ \text{d}^{2}y(t) }{ \text{d} t } = -\frac{D}{m}y(t)$

Gleichungen dieser Form nennt man Differenzialgleichungen. In solchen Gleichungen wird keine Variable, sondern eine Funktion gesucht. In unserem Fall suchen wir eine Funktion $y(t)$, die, wenn man sie zweimal nach der Zeit ableitet, sich selbst multipliziert mit dem Vorfaktor $-\frac{D}{m}$ ergibt.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, solche Differenzialgleichungen zu lösen. Eine ist, durch schlaues Hinschauen eine Lösung zu raten und durch Differenzieren zu überprüfen. Diese Methode können wir auch hier anwenden. Wir kennen nämlich eine Funktion, die nach zweimaligem Ableiten wieder sich selbst ergibt – mit einem Vorfaktor. Diese Funktion ist der Sinus. Denn die Ableitung des Sinus ist der Kosinus und die Ableitung des Kosinus ergibt wieder einen Sinus, nur mit negativem Vorzeichen. Wir wählen deswegen den folgenden Ansatz für die Funktion $y(t)$:

$y(t) = A \cdot \sin(\phi(t))$

Dabei ist $A$ die maximale Amplitude, also Auslenkung. Weil wir Reibungseffekte vernachlässigen, hängt die Amplitude nicht von der Zeit ab, sondern ist konstant. Das Argument des Sinus $\phi(t)$ ist der Phasenwinkel. Den Phasenwinkel können wir auch mithilfe der Kreisfrequenz $\omega$ darstellen:

$\phi(t) = \omega \cdot t = \frac{2\pi}{T} \cdot t$

Die Kreisfrequenz gibt ja gerade an, wie viele Schwingungen das Pendel pro Zeit durchführen kann. Nach der Zeit $t=T$, also einer Periode, ist der Phasenwinkel $\phi(T)=2\pi$ – das Pendel hat also genau einen Umlauf vollführt. Mit dieser Definition sieht unser Ansatz folgendermaßen aus:

$y(t) = A \cdot \sin(\omega \cdot t)$

Um unseren Ansatz zu überprüfen, müssen wir ihn in die Differenzialgleichung einsetzen. Dazu berechnen wir zunächst die erste und dann die zweite Ableitung nach der Zeit. Dabei nutzen wir die Kettenregel für die innere und äußere Ableitung:

$ \frac{ \text{d}y(t) }{ \text{d} t } = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega t) $

$ \frac{ \text{d}^{2}y(t) }{ \text{d} t } = -A \cdot \omega^{2} \cdot sin(\omega t) $

In der letzten Zeile können wir $y(t)= A \cdot \sin(\omega \cdot t)$ wiederfinden und sie folgendermaßen umschreiben:

$ \frac{ \text{d}^{2}y(t) }{ \text{d} t } = -A \cdot \omega^{2} \cdot sin(\omega t) =- \omega^{2} \cdot y(t) $

Hier sehen wir schon, dass unser Ansatz für $y(t)$ die oben aufgestellte Differenzialgleichung erfüllt. Wir können die Differenzialgleichung umformen und mit unserem Ansatz vergleichen, um einen Zusammenhang zwischen $\omega^{2}$ und den Größen aus dem hookeschen Gesetz zu finden:

$ \frac{ \text{d}^{2}y(t) }{ \text{d} t } = -A \cdot \omega^{2} \cdot sin(\omega t) =- \omega^{2} \cdot y(t) = -\frac{D}{m}y(t)$

$\Leftrightarrow \omega^{2} = \frac{D}{m}$

Damit können wir die Periodendauer $T$ des Pendels bestimmen:

$T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{D}}$

Die Periodendauer hängt also (unter Vernachlässigung der Reibung) nur von der Masse $m$ und der Federkonstanten $D$ ab. Kennen wir die Masse, können wir die Federkonstante so über die Messung der Periodendauer $T$ bestimmen.

Außerdem können wir $\omega$ in unseren Ansatz und dessen Ableitungen einsetzen. So erhalten wir Funktionen für den Ort, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Federpendels:

$y(t) = A \cdot \sin(\sqrt{\frac{m}{D}} \cdot t)$

$ v(t) = A \cdot \sqrt{\frac{m}{D}} \cdot \cos(\sqrt{\frac{m}{D}} t) $

$ a(t) = -A \cdot \frac{m}{D} \cdot sin(\sqrt{\frac{m}{D}} t) $

Die maximale Amplitude $A$ könnten wir über Anfangsbedingungen bestimmen. An dieser Stelle verzichten wir allerdings darauf, da es uns um das generelle Verhalten des Pendels geht. Dazu betrachten wir die Verläufe für den Ort $y(t)$ und die Geschwindigkeit $v(t)$ graphisch:

Hier können wir eine wichtige Eigenschaft des Federpendels erkennen: Die Geschwindigkeit $v(t)$ ist während eines Schwingungsvorgangs am größten, wenn das Pendel seine Gleichgewichtslage durchläuft. Bei maximaler Auslenkung $y(t)$ ist die Geschwindigkeit hingegen null – denn hier ändert die Bewegung ihre Richtung.