Grundgesetz der Dynamik der Rotation

Hallo und herzlich willkommen! Sicherlich hast du auf einem Spielplatz schon einmal ein Karussell gesehen. Man kann daraufsetzen und es andrehen, sodass es rotiert. Dabei fällt einem auf, dass man Kraft benötigt, um das Karussell anzudrehen. Und wenn man mehr Leute auf dem Karussell sitzen hat, braucht man mehr Kraft, um es in Bewegung zu setzen. Außerdem merkt man, dass das Karussell sich schneller dreht, wenn man sich beim Andrehen richtig anstrengt. Warum das alles so ist, wirst du in diesem Video lernen. Es dreht sich hier nämlich alles um das "Grundgesetz der Dynamik der Rotation". Mit ihm werden Rotationsbewegungen beschrieben. Um die Zusammenhänge des Grundgesetzes der Dynamik der Rotation zu verstehen, werden wir zuerst das Zweite Newton’sche Axiom betrachten. Danach wirst du sehen, welche Größen man nutzt, um eine Rotation zu beschreiben. Außerdem wirst du lernen, wie das Grundgesetz der Dynamik der Rotation lautet und was wir daraus schließen können. Und am Ende wirst du sehen, wie man diese Zusammenhänge an einem Spielplatzkarussell beobachten kann. Und damit kann es auch losgehen! Das Zweite Newton’sche Axiom gilt für Translationen. Unter Translation versteht man eine Bewegung, bei der sich alle Teile eines Körpers mit derselben Geschwindigkeit in dieselbe Richtung bewegen. Wenn du Auto fährst, ist das z.B. eine Translation. Um einen Körper, der eine Translation ausführt, zu beschreiben, braucht man vier physikalische Größen. Zum einen die Masse (m) des Körpers. Sie gibt den Widerstand eines Körpers gegenüber einer Änderung seiner Bewegung an. So eine Änderung kann dabei eine Änderung der Richtung oder des Betrages der Geschwindigkeit der Bewegung sein. Diesen Widerstand nennt man auch Trägheit. Umso mehr Masse ein Körper hat, umso träger ist er. Die Einheit der Masse ist Kilogramm (kg). Als Zweites nutzt man die Geschwindigkeit (v) zur Beschreibung einer Bewegung. Die Geschwindigkeit sagt uns, wieviel Strecke der Körper in welcher Zeit zurücklegt und in welche Richtung er sich bewegt. Die Geschwindigkeit ist also ein Vektor und hat als solcher eine Richtung und einen Betrag. Sie wird in Metern pro Sekunde gemessen (m/s). Außerdem gibt es noch die Beschleunigung a. Sie gibt an, um welchen Wert sich die Geschwindigkeit sich in einem gewissen Zeitintervall ändert. Die Beschleunigung ist ebenfalls eine vektorielle Größe. Die Einheit der Beschleunigung sind Meter pro Sekunde zum Quadrat (m/s²). Das Zweite Newtonsche Axiom besagt nun, dass ein Körper seine Geschwindigkeit, das heißt die Richtung oder den Betrag, nur dann ändert, wenn eine Kraft wirkt. Eine Änderung der Geschwindigkeit ist gleich einer Beschleunigung. Das heißt, dass die Kraft F proportional zur Beschleunigung ist. Außerdem hindert die Masse einer Änderung der Geschwindigkeit. Die benötigte Kraft steigt also mit der Masse des Körpers. Wenn die Masse konstant ist, folgt dann, dass die Kraft proportional der Masse mal der Beschleunigung ist. Als Produkt von Masse und Beschleunigung hat sie die Einheit Kilogrammmeter pro Sekunde2 (kgm/s²). Das ist das Zweite Newtonsche Axiom. Es gilt für Translationen. Eine Kraft hat immer eine Richtung und einen Betrag und ist somit, wie die Beschleunigung, ein Vektor. Außerdem ist die Kraft die Ursache für die Beschleunigung. Das bedeutet, dass beide Größen immer in die gleiche Richtung zeigen. Jetzt kennst du das Zweite. Newtonsche Axiom. Es gilt allerdings nur für Translationen. Um Rotationen zu beschreiben, muss man etwas anders vorgehen. Wie, das siehst du jetzt. Unter Rotation versteht man eine Bewegung eines starren Körpers um eine feste Rotationsachse. Das kann zum Beispiel eine rotierende Scheibe sein. Geschwindigkeitsbetrag und Bewegungsrichtung der einzelnen Massepunkte sind nicht alle gleich. Im Inneren der Scheibe bewegen sich die Massepunkte langsamer als weiter draußen und die Richtung der Bewegung ist je nach Ort der Scheibe auch unterschiedlich. Um die Dynamik einer Rotation zu beschreiben, benötigt man andere Größen als bei einer Translation. Zum einen braucht man das Trägheitsmoment J. Ähnlich wie die Masse gibt es den Widerstand eines Körpers gegenüber einer Änderung seiner Rotationsbewegung an. Umso größer das Trägheitsmoment, umso größer der Widerstand gegen eine Änderung der Rotationsbewegung. Das Trägheitsmoment einer Scheibe, die um ihren Mittelpunkt rotiert, ist gleich ½ m * r². Ein Körper hat aber viele Trägheitsmomente, während er nur eine Masse hat. Das kommt darauf an, um welche Achse er rotiert. So muss die Scheibe nicht unbedingt um ihren Mittelpunkt rotieren. Die Rotationsachse könnte auch weiter am Rand liegen. Dann wäre das Trägheitsmoment größer als ½m * r², weil die Massepunkte weiter von der Rotationsachse entfernt liegen. Das Trägheitsmoment wird in [kgm²] angegeben. Die zweite Größe, die die Rotation beschreibt, ist die Winkelgeschwindigkeit. Die Winkelgeschwindigkeit ist ein Vektor mit Betrag und Richtung. Der Betrag gibt an, welchen Winkel ein von der Rotationsachse über einen Punkt des Körpers verlaufender Strahl pro Zeiteinheit überstreicht. Die Winkelgeschwindigkeit wird in der Einheit Rad pro Sekunde (rad/s) gemessen. Die Richtung der Winkelgeschwindigkeit zeigt immer entlang der Rotationsachse. Sie kann also nach oben oder nach unten zeigen. Wie man herausfindet, in welche Richtung sie zeigt, ist ganz einfach. Man wendet die sogenannte "Rechte Handregel" an. Dabei zeigen die Finger in Richtung der Drehbewegung. Dann spreizt man den Daumen senkrecht nach oben ab. Der Daumen gibt dann die Richtung der Winkelgeschwindigkeit an, in unserem Fall also nach oben. Würde sich die Scheibe in die andere Richtung drehen, so würde die Winkelgeschwindigkeit nach unten zeigen. Die dritte Größe, mit der man eine Rotationsbewegung beschreibt, ist die Winkelbeschleunigung Alpha (Alpha). Sie gibt an, um wieviel sich die Winkelgeschwindigkeit in einem gewissen Zeitintervall ändert. Ändert sich also die Winkelgeschwindigkeit, so liegt immer eine Winkelbeschleunigung vor. Die Winkelbeschleunigung ist ebenfalls eine vektorielle Größe. In welche Richtung sie zeigt, wirst du gleich sehen. Vorher noch die Einheit: Die Winkelbeschleunigung wird in der Einheit rad/s² gemessen. Und als Letztes benötigt man noch das Drehmoment, um eine Rotation zu beschreiben. Das Drehmoment ist gleich dem Kreuzprodukt aus Kraft F in dem Abstand r zur Rotationsachse (M = F * r). Als Kreuzprodukt aus zwei Vektoren ist auch das Drehmoment eine vektorielle Größe. Es hat die Einheit kgm²/s². Und mit diesen Größen kann man dann auch schon das Grundgesetz der Dynamik der Rotation aufschreiben. Das Drehmoment lässt sich nämlich auch noch anders beschreiben. Das Grundgesetz der Dynamik der Rotation besagt, dass ein rotierender Körper seine Rotationsbewegung nur dann ändert, wenn ein Drehmoment anliegt. Eine Änderung der Rotationsbewegung entspricht einer Änderung der Richtung oder des Betrags der Winkelgeschwindigkeit. Um die Winkelgeschwindigkeit zu ändern, muss wiederum eine Winkelbeschleunigung vorliegen. Daraus folgt, dass das Drehmoment proportional zur Winkelbeschleunigung ist. Weiterhin wirkt das Trägheitsmoment einer Änderung der Rotationsbewegung entgegen. Umso größer das Trägheitsmoment ist, umso größer muss also auch das Drehmoment sein, um eine Veränderung der Bewegung zu bewirken. Das Drehmoment steigt also mit dem Trägheitsmoment. Daraus folgt, dass das Drehmoment für konstantes Trägheitsmoment proportional dem Produkt aus J und der Winkelbeschleunigung Alpha ist. Als Produkt von Trägheitsmoment und Winkelbeschleunigung wird das in kgm²/s² angegeben. Das Drehmoment ist eine vektorielle Größe. Da das Drehmoment Ursache der Winkelbeschleunigung ist, zeigen beide Größen immer in die gleiche Richtung. Das ist das Grundgesetz der Dynamik der Rotation. Zum Schluss wirst du jetzt noch sehen, wie man diese physikalischen Gesetzmäßigkeiten auf die Rotationsbewegung eines Spielplatzkarussells übertragen kann. Wir werden uns zuerst anschauen, was passiert, wenn niemand auf dem Karussell ist. Dazu machen wir eine Skizze des Karussells von oben. Fasst man am Rand des Karussells an, um es anzudrehen, so ist das Drehmoment gleich dem Radius r mal der Kraft F (M = r * F), da F und r senkrecht aufeinander stehen. Dann gilt also F * r = J * Alpha. Das Trägheitsmoment des Karussells ist konstant, genau wie der Radius r. Die benötigte Kraft ist also proportional zur Winkelbeschleunigung. Um das Karussell anzudrehen, benötigst du eine gewisse Kraft, da das Trägheitsmoment einer Änderung der Geschwindigkeit entgegenwirkt. Das merkst du auch, wenn du das Karussell andrehst. Setzen sich jetzt noch ein paar Leute auf das Karussell, so steigt das Trägheitsmoment. Du merkst, dass es jetzt viel schwerer ist, das Karussell anzudrehen. Wenn sie innen sitzen, ist ein kleineres Drehmoment und damit eine kleinere Kraft nötig. Sitzen sie außen, so ist ein hohes Drehmoment und eine hohe Kraft nötig, um das Karussell in Bewegung zu versetzen. So kann man die Zusammenhänge des Grundgesetzes der Dynamik der Rotation an einem Spielplatzkarussell betrachten. So, was hast du eben gelernt: Um die Translation eines Körpers zu beschreiben, benötigt man vier physikalische Größen: die Masse m; die Geschwindigkeit v; die Beschleunigung a und die Kraft F. Nach dem 2. Newtonschen Axiom gilt für die Masse m: F = m * a. Um eine Rotation zu beschreiben, genügen auch vier physikalische Größen: das Trägheitsmoment J; die Winkelgeschwindigkeit Omega; die Winkelbeschleunigung Alpha und das Drehmoment M. Nach dem Grundgesetz der Dynamik der Rotation gilt für ein konstantes Trägheitsmoment J: M = J * Alpha. Die Zusammenhänge zwischen den Größen der Rotation kannst du zum Beispiel an einem Spielplatzkarussell beobachten. Das war es dann zum Thema Grundgesetz der Dynamik der Rotation. Ich hoffe, du hast was gelernt. Tschüss und bis zum nächsten Mal.