Gravitationsgesetz – fallender Apfel und Planetenbahnen

Das Gravitationsgesetz in der Physik

Du kennst sicher die Geschichte über Isaac Newton und den Apfelbaum, der ihn zu einer seiner wichtigsten Erkenntnisse über die Gravitation gebracht haben soll. Was genau diese Erkenntnis gewesen ist und wie sie mit dem Gravitationsgesetz zusammenhängt, wollen wir im Folgenden erläutern.

Äpfel und Planeten – die Gravitation

Schon lange bevor Isaac Newton im Jahr 1666 von einem Apfel am Kopf getroffen worden sein soll, waren zwei physikalische Phänomene bekannt:

1. Die Planeten umkreisen die Sonne auf elliptischen Bahnen.
2. Auf der Erde fallen alle Gegenstände in Richtung des Erdbodens, also nach unten.

Allerdings war der Legende nach ein fallender Apfel notwendig, um Newton auf die entscheidende Idee zu bringen, dass beide Phänomene dieselbe Ursache haben – die Gravitation. Newton soll an einem Apfelbaum gelehnt und den Himmel beobachtet haben, als eine reife Frucht auf seinem Kopf landete. Mit schmerzendem Kopf fragte er sich, weshalb Äpfel und andere Gegenstände eigentlich immer nach unten zum Erdboden fallen statt nach oben oder zur Seite. Er folgerte, dass der Apfel von der Erde angezogen werden müsse. Dann müsse die Erde in gleichem Maße den Mond anziehen wie die Sonne die Erde.

Anhand dieser Annahme entwickelte Isaac Newton etwa zwanzig Jahre später das nach ihm benannte newtonsche Gravitationsgesetz.

Mathematische Formulierung des Gravitationsgesetzes

Das Gravitationsgesetz besagt, dass zwei Massen eine anziehende Gravitationskraft aufeinander ausüben. Diese Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie der zwei Massen und ist proportional zum Produkt der Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstands. Das bedeutet, dass die Kraft umso größer ist, je größer die Massen sind und umso kleiner, je größer der Abstand zwischen den Massen ist. Der Proportionalitätsfaktor ist die Gravitationskonstante.

Als Formel aufgeschrieben sieht das Gravitationsgesetz für zwei Massenpunkte folgendermaßen aus:

$F_1 = F_2 = G \cdot \frac{M \cdot m}{r^{2}}$

Dabei sind $F_1$ und $F_2$ die Kräfte, die ein Körper auf den jeweils anderen ausübt, $G$ die Gravitationskonstante, $M$ und $m$ die Massen und $r$ der Abstand zwischen den Mittelpunkten der Massen. Das Gesetz gilt in dieser Form nicht nur für Massenpunkte, sondern auch für kugelsymmetrische Objekte. Allerdings nur dann, wenn der Abstand $r$ zwischen den Objekten viel größer ist als die Radien der Objekte. Deswegen gilt das Gravitationsgesetz näherungsweise auch für die Anziehung zwischen Erde und Mond, weil der Abstand $r$ zwischen Erde und Mond viel größer ist als die Radien der beiden Himmelskörper.

Auf diese Weise kann man das Gravitationsgesetz benutzen, um die Bahnen von Himmelskörpern zu berechnen. Ihre Eigenschaften werden genauer durch die keplerschen Gesetze beschrieben.

Gravitationsgesetz und Äquivalenzprinzip – Geschichte

Als wir die Formel für das Gravitationsgesetz aufgeschrieben haben, haben wir – ohne weiter darüber nachzudenken – die Massen $M$ und $m$ so eingesetzt, wie wir sie aus den Grundgesetzen der Dynamik kennen. In diesem Zusammenhang sprechen wir genau genommen von der trägen Masse. Wir erinnern uns daran, weshalb wir von träge sprechen:

Wenn eine Kraft $F$ auf einen Körper einwirkt, wird dieser Körper beschleunigt. Die Beschleunigung $a$, die ein Körper erfährt, ist bei gleicher Kraft allerdings nicht für alle Körper gleich. Sie ist zwar proportional zur Kraft, hängt aber zusätzlich von einer Eigenschaft des jeweiligen Körpers ab. Diese Eigenschaft wird träge Masse $m_{träge}$ genannt und tritt als Proportionalitätsfaktor auf:

$F = m_{träge} \cdot a$

Je größer die träge Masse ist, desto kleiner ist die Beschleunigung bei gleicher Kraft. Deswegen wird sie auch als träge Masse bezeichnet: Sie wirkt als Hindernis gegen die Beschleunigung.

Als Isaac Newton das Gravitationsgesetz formulierte, wusste er nicht, dass die darin enthaltenen Massen dieselben Eigenschaften hatten. Er sprach deshalb auch von den schweren Massen $M_{schwer}$ und $m_{schwer}$ und formulierte das Gravitationsgesetz so:

$F_1 = F_2 = G \cdot \frac{M_{schwer} \cdot m_{schwer}}{r^{2}}$

Je größer also die schweren Massen der Körper sind, desto größer ist die Anziehungskraft zwischen ihnen.

Das Äquivalenzprinzip, das anhand vieler Experimente gezeigt werden konnte und einen wichtigen Teil der Relativitätstheorie nach Albert Einstein bildet, besagt nun, dass träge und schwere Masse äquivalent sind, also:

$m_{schwer} = m_{träge}$

Genauer erklären lässt sich dieses Prinzip allerdings nicht – wir müssen es vorerst als Gegebenheit der Natur hinnehmen. Es hat allerdings Einfluss auf viele Bereiche der Physik und führt zu unterschiedlichen Phänomenen. Eines, das wir schon kennen, ist, dass alle Körper im Gravitationsfeld der Erde dieselbe Beschleunigung erfahren, wenn wir die Luftreibung vernachlässigen (oder im Vakuum experimentieren). Wir hatten schon aufgeschrieben, dass nach Newton für die Beschleunigung eines Körpers gilt:

$F = m_{träge} \cdot a$

Für die Kraft, die durch das Gravitationsfeld der Erde auf einen Körper wirkt, der sich nahe der Erdoberfläche befindet, gilt:

$F = m_{schwer} \cdot g$

Dabei ist $g$ der Ortsfaktor. Wenn man die Formeln für die Kräfte gleichsetzt, ergibt sich:

$m_{träge} \cdot a = m_{schwer} \cdot g$

Umgeformt nach der auf den Körper wirkenden Beschleunigung $a$ erhalten wir:

$a = \frac{m_{schwer}}{m_{träge}} \cdot g$

Und schließlich, mit $m_{träge} = m_{schwer}$, folgt:

$a = g$

Die Beschleunigung, die ein Körper im Gravitationsfeld der Erde erfährt, ist also immer gleich und unabhängig von seiner Masse – Gravitations- und Trägheitskräfte sind also äquivalent.

Wann gilt das Gravitationsgesetz?

Das newtonsche Gravitationsgesetz ist eine Näherung, die in den meisten Fällen gut funktioniert – aber in manchen Bereichen an Grenzen stößt. Bei großen Geschwindigkeiten und sehr massereichen Objekten, wie beispielsweise schwarzen Löchern, liefert das newtonsche Gravitationsgesetz keine zutreffenden Voraussagen mehr. In diesen Fällen muss mit der allgemeinen Relativitätstheorie gerechnet werden.

Gravitationsgesetz – Zusammenfassung

Die wichtigsten Erkenntnisse zum newtonschen Gravitationsgesetz fassen wir noch einmal in Stichpunkten zusammen:

• Das Gravitationsgesetz wurde von Isaac Newton formuliert.
• Es besagt, dass zwei Massenpunkte eine Anziehungskraft aufeinander ausüben, die proportional zum Produkt ihrer Massen ist.
• Die Kraft ist umgekehrt proportional zum Abstand zwischen den Massenpunkten.
• Die Proportionalitätskonstante heißt Gravitationskonstante $G$.
• Das Äquivalenzprinzip besagt, dass träge und schwere Massen zueinander äquivalent sind.

In diesem Video wird dir das Gravitationsgesetz einfach erklärt. Du erfährst, welche Bedeutung Gravitationsgesetz und Äquivalenzprinzip haben, und lernst die wichtigsten Formeln dazu kennen. Text und Video werden durch interaktive Aufgaben und ein Arbeitsblatt ergänzt.