Braun'sche Röhre – Berechnung von Kenngrößen

Hallo und herzlich willkommen. Ich zeige hier, wie man einige wichtige Funktionsgrößen einer Braunschen Röhre berechnet. Du solltest die Bewegungsgleichung der Mechanik kennen, die Newtonschen Axiome, die Berechnung kinetischer Energie verstehen und über das elektrische Feld, den Plattenkondensator und die Bewegung von Ladungsträgern im elektrischen Feld längs und quer zur Ausbreitungsrichtung Bescheid wissen. Den konstruktiven Aufbau und die elementaren Funktionsprinzipien der Braunschen Röhre hatte ich im ersten Video unter demselben Titel erklärt. Wie viele Elektronen die Glühkathode je Sekunde freisetzt, hängt von ihrem Material und Aufbau und von der Stärke des Heizstroms und der von ihm erzeugten Temperatur ab. Wir werden die Berechnungen dieser Größen den Materialwissenschaftlern und Technikern überlassen und nehmen an, dass für unsere Zwecke genügend Elektronen verfügbar sind. Ich will aber mal entwickeln, wie wir die Geschwindigkeit und die Energie der Elektronen berechnen können, die von dem Feld beschleunigt werden, das sich zwischen Kathode und Anode ausbildet. Dafür nehmen wir an, dass beide angenähert wie Platten eines Kondensators genommen werden können. Trotz der Tatsache, dass die Kathode oft nicht als Platte ausgebildet ist und die Anode ein Loch oder einen Schlitz hat um die beschleunigten Elektronen hindurchzuschleusen. Aber mit dieser bequemen Näherung können wir für die elektrische Feldstärke die Formel vom idealen Plattenkondensator verwenden. Ich habe den Plattenabstand hier gleich mal Sk genannt, denn uns interessiert am meisten, welche Energie und Geschwindigkeit die Elektronen genau dann haben, wenn sie durch das Anodenloch fliegen, also ihr Weg Sk gerade gleich dem Abstand von Anode und Kathode ist, denn danach verlassen sie ja das antreibende Kraftfeld. Wir wissen, dass die kinetische Energie Wk gleich der am Elektron verrichteten Arbeit We sein mus, da wir ja annehmen, dass es an der Glühkathode noch keine merkliche Beschleunigung erfahren hat und nur so eben frei über ihrer Oberfläche schwebt und zittert. Weil die Kraft im homogenen elektrischen Feld überall gleich ist - deshalb heißt es ja auch homogen -, erhalten wir für die Arbeit, die über den gesamten Weg Sk am Elektron im elektrischen Feld verrichtet wird, einen Ausdruck, in dem Sk nicht mehr vorkommt. Das negative Vorzeichen erhalten wir, weil die Richtung des Spannungsabfalls und der Weg des Elektrons genau entgegengesetzt sind. Da aber die Ladung des Elektrons negativ ist, ergibt sich dann wie erwartet ein positiver Betrag für die aufgewendete Arbeit. Da die am Elektron verrichtete Arbeit in seiner kinetischen Energie erscheint, erhalten wir also aus der Gleichsetzung beider Größen diesen Ausdruck. Weil die Ladung des Elektrons immer dieselbe ist und seine Masse bei den hier übliche Geschwindigkeiten kaum relativistisch verändert wird, haben wir eine Abhängigkeit der Geschwindigkeit des Elektrons, die ungefähr proportional der Quadratwurzel der Beschleunigungsspannung ist. Wenn wir die Geschwindigkeit verdoppeln wollen, müssen wir also die Beschleunigungsspannung an unserer Anode vervierfachen. Nun befindet sich natürlich der Wehnelt-Zylinder zwischen der Glühkathode und der Anode. Er muss gegenüber der Kathode negativ geladen sein, also gewissermaßen negativer als sie, die ja schon gegenüber der Anode negativ geladen ist. Was geschieht nun, wenn so ein negativ geladenes Objekt zwischen Kathode und Anode eingeschoben wird? Uns interessiert dabei der Fall, dass der Betrag der Spannung zwischen der Kathode und dem Objekt - nehmen wir zur Vereinfachung zuerst ein Metallgitter an - sehr viel kleiner ist als der Betrag der Spannung zwischen Kathode und Anode. Warum das? Nun, ganz einfach darum, weil wir sichergehen wollen, dass unsere Elektronen auch wirklich bis zur Anode und darüber hinaus fliegen. Dass wir also sicherstellen müssen, dass das Feld, das die Elektronen in Richtung Anode treibt, sehr viel stärker wirkt als das Feld zwischen Kathode und Gitter oder eben Wehnelt-Zylinder, dass die Elektronen aus der Kathode ja etwas zurück stößt. Dabei ergibt sich nun etwas sehr Angenehmes. Die Elektronen haben am Ende des Weges, wenn sie durch das Loch in der Anode fliegen, dieselbe Energie wie ohne das negativ geladene Gitter mitten im Feld. Zwischen Gitter und Kathode besteht ein Feld, dessen Kraft am Elektron eine Kraft W1 leistet. Für den restlichen Weg vom Gitter zur Anode wirkt eine Kraft F2, die dem Elektron eine Energie W2 verleiht. Die Spannung über die gesamte Anordnung muss immer gleich der Summe dieser beiden Teilspannungen sein. Das heißt aber nichts anderes, als das die Gesamtenergie des Elektrons bei Erreichen der Anode auch der Summe beider Teilenergien entspricht. Und das heißt: Wenn wir dem Elektron auf dem Weg zum Gitter etwas Energie stehlen, wird es hinter dem Gitter umso mehr erhalten und hat zuletzt die selbe Menge Energie. So haben wir uns vergewissert, dass der gegenüber der Kathode leicht negativ vorgespannte Wehnelt-Zylinder nicht die gesamte Anordnung durcheinander bringt. Zumindest tut er das nicht prinzipiell, denn weil er doch kein flaches Gitter, sondern eine Blechdose mit offenem Boden und Loch im Deckel ist, verändert er die Verhältnisse schon ein bisschen. Aber weil das am wenigsten entlang der Längsachse geschieht, wo die Elektronen entlang fliegen müssen, reicht die Genauigkeit unserer genäherten Berechnung aus. Nun fliegen also unsere schön beschleunigten und auf einen scharfen dünnen Strahl fokussierten Elektronen durch die beiden glatten Paare hindurch. Wir wollen berechnen, in welchem Maßstab die Spannung an den Platten und der Abstand bis zum Bildschirm die Ablenkung dieses Strahls von seiner ursprünglichen geraden Bahn beeinflusst. Dazu wenden wir nun einfach die Formeln an, die wir für die Berechnung der Bewegung eines geladenen Teilchens senkrecht oder - salopp gesprochen - quer zum elektrischen Feld entwickelt hatten. Wir hatten ja ermittelt, dass der Weg in senkrechter Richtung von der Beschleunigung in eben dieser Richtung und der Zeit abhängt. Und hatten die Zeit geschickt über die Bewegung in Schussrichtung, also in Einflugrichtung, ausgedrückt. Zugleich die Beschleunigung über die Kraft des Feldes zwischen unseren Ablenkplatten und die Masse unseres Elektrons ausgedrückt, ergab sich, was nun mit unserer neuen Formel für die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Beschleunigungsspannung Uk zu diesem Ausdruck führt. An dieser Formel können wir ganz klar ablesen, wie wir bei gegebener Beschleunigungsspannung Uk durch die Veränderung der Spannung zwischen den Ablenkplatten Uy die Krümmung unserer Flugparabel steuern. Und genau das wollten wir auch. Nun bleibt nur noch der Weg des Elektrons nach Verlassen des Raums zwischen den Kondensatorplatten bis zum Bildschirm. Natürlich ist dieser Weg etwa eine Gerade. Denn nachdem wir das Elektron einmal auf eine neue Bahn gezwungen hatten, wirkt hier nun keine weitere Kraft mehr. Es muss sich jetzt geradlinig und gleichförmig bewegen. Diese Bahn wird über der Mittelachse, auf der wir unser Elektron ursprünglich eingeschossen hatten, einen Winkel haben, der gerade dem entspricht, den sie zuletzt auf dem parabelförmigen Abschnitt zwischen den Ablenkplatten erreicht hatte. Und dieser Winkel entspricht natürlich dem Anstieg der Parabel oder ihrer ersten Ableitung in genau diesem Punkt. Darum können wir in die Geradengleichung, die den Weg des Elektrons außerhalb der Felder der Ablenkplatten beschreibt, für den Parameter, der den Anstieg beschreibt, gerade die erste Ableitung unserer Parabelgleichung am Ende der Ablenkplatten einsetzen. Für die gesamte Auslenkung Sy ergibt sich also nun diese Summe. Legen wir die Spannung Uk zwischen Kathode und Anode einmal fest, erhalten wir wegen der Konstanz aller anderen Abmessungen eine lineare Abhängigkeit der Auslenkung des Strahls am Bildschirm von der Spannung an den Ablenkplatten. Da der Elektronenstrahl fast verzögerungsfrei auf Veränderung dieser Spannung reagiert, können wir mit einer solchen Braunschen Röhre im Oszillographen hochfrequente Wechselspannungen sehr schön darstellen. Die waagerechte Ablenkung Sz ist natürlich ganz leicht mit der selben Formel zu berechnen, wenn wir nun Sz an die Stelle von Sy setzen. Wir haben hier entwickelt, wie einfache Kenngrößen der Bahn von Elektronen in der Braunschen Röhre berechnet werden. Zum Beispiel die Energie und Geschwindigkeit der freigesetzten Elektronen beim Erreichen der Anode. Und wir haben die Formel ermittelt, mit der die Ablenkung des Elektronenstrahls von der Mittelachse am Bildschirm berechnet werden kann. Im 3. Video unter demselben Titel werde ich erläutern, welche Figuren der Elektronenstrahl in Abhängigkeit von der Verlaufsform der Ablenkspannungen Uy und Uz zeichnet. Bis dahin.