Bändermodell in Festkörpern

Hallo. Ich bin Sandra. In diesem Video möchte ich Dir das Bändermodell in Festkörpern erklären. Aus dem Alltag weißt Du bestimmt, dass ein Draht aus Metall besser elektrisch leitet als ein Körper aus Glas oder Keramik. Aber warum ist das eigentlich so? Die Leitfähigkeit eines Festkörpers kann mit Hilfe des Bändermodells gedeutet werden. Schauen wir uns also mal an, was es mit diesem Modell auf sich hat. Zuerst möchte ich mit Dir die Frage klären, warum es Energiebänder gibt. Danach geht es um die Begriffe Valenzband und Leitungsband. Wir werden klären, was die Fermi-Energie ist und abschließend Leiter, Halbleiter und Isolatoren miteinander vergleichen. Warum also Energiebänder? Du kennst ja bereits das Bohrsche Atommodell mit dem positiv geladenen Kern und den darum kreisenden Elektronen. Aus diesem Modell ergibt sich auch, dass die Elektronen eines Atoms nur ganz bestimmte Energieniveaus haben können. Man sagt, die Energien der Elektronen seien diskret. Die diskreten Energieniveaus lassen sich in einem solchen Energieniveauschema darstellen. Die Elektronen besetzen dabei zuerst das unterste energieärmste Niveau. Wenn dieses gefüllt ist, besetzen die Elektronen das nächsthöhere Niveau. Und so weiter. In einem Festkörper sitzen viele Atome nebeneinander, die miteinander wechselwirken. Die Atome sind so nahe, dass sich die Aufenthaltsorte der Elektronen teilweise überlappen. Bestimmten Elektronen kann dann kein einzelnes Atom mehr zugeordnet werden. Dieses Zusammenwirken der Atome führt dazu, dass die diskreten Energieniveaus zu breiten Energiebändern verschwimmen. Genau wie bei einem einzelnen Atom werden die Energiebänder von unten nach oben aufgefüllt. Innerhalb dieser Energiebänder können die Elektronen nahezu alle Energiebeträge aufnehmen. Es gibt zwei wichtige Bänder, deren Anordnung entscheidend für die Leitfähigkeit des Festkörpers ist, das Valenzband und das Leitungsband. Das energiereichste Band, das bei null Kelvin noch vollständig mit Elektronen besetzt ist, bezeichnet man als das Valenzband. Die Elektronen des Valenzbandes sind fest an das Atom gebunden. Die Beweglichkeit der Elektronen ist in vollbesetzten Bändern sehr gering. Deswegen tragen voll besetzte Bänder nicht zur elektrischen Leitfähigkeit bei. Das darüberliegende Band ist gar nicht oder nur teilweise mit Elektronen gefüllt. Dieses Band ist das Leitungsband. Die Elektronen im Leitungsband sind nicht fest an das Atom gebunden, können sich also frei im Festkörper bewegen. Die freien Elektronen tragen somit zur Leitung bei. Woher auch der Name Leitungsband kommt. Zwischen dem Leitungsband und dem Valenzband ist meist eine Lücke. Das bedeutet, dass die Elektronen keine Energie dieses Bereichs aufnehmen können. Man nennt diese Energielücke auch "Verbotene Zone". Die Energielücke kann je nach Material unterschiedlich groß sein und bestimmt entscheidend die Leitungseigenschaften des Festkörpers. Damit ein Elektron von dem Valenzband in das Leitungsband übergehen kann, muss dem Elektron mindestens der Differenzbetrag zwischen der unteren Kante des Leitungsbandes und der oberen Kante des Valenzbandes zugefügt werden. Dies kann zum Beispiel durch Zuführung von Wärmeenergie oder Licht geschehen. Jetzt kennst Du schon das Valenzband und Leitungsband. Kommen wir nun zum Begriff der Fermi-Energie. Bei null Kelvin sind die Energiebänder von unten an bis zu einem bestimmten höchsten Energieniveau vollständig besetzt. Die Fermi-Energie gibt dann die Energie des höchst möglichen, theoretisch besetzbaren Energieniveaus an. Hier liegt die Fermi-Energie also oberhalb des Valenzbandes. Die Fermi-Energie beschreibt also die höchste Energie, die ein Elektron in dem Festkörper bei null Kelvin annehmen könnte. Steigt die Temperatur an, dann nehmen die Elektronen auch Energie oberhalb der Fermi-Energie auf und können zum Beispiel vom Valenzband ins Leitungsband übergehen. Kehren wir nun zurück zur Ausgangsfrage, warum es Festkörper gibt, die sehr gute elektrische Leiter sind und andere, die kaum elektrisch leiten. Wir teilen die Festkörper auf in Leiter, Halbleiter und Isolatoren. Vergleichen wir mal die Lage der Bänder in den drei Festkörpern. In Leitern gibt es zwischen Valenzband, hier VB, und Leitungsband LB keine Energielücke. Die beiden Bänder überlappen sogar. Die Fermi-Energie liegt bei Leitern also mitten in einem Energieband. Dadurch, dass es zwischen Valenz- und Leitungsband keine Lücke gibt, können Elektronen schon mit einer sehr geringen zusätzlichen Energie in das Leitungsband gehoben werden. Im Leitungsband können sie sich dann frei bewegen. Der Festkörper hat daher eine besonders gute elektrische Leitfähigkeit. Sie liegt bei Raumtemperatur im Bereich von σ rund 10⁶S/m (Siemens pro Meter). Beispiele für Leiter sind Metalle wie Kupfer oder Aluminium. In Halbleitern gibt es eine Energielücke zwischen Valenz- und Leitungsband. Die Breite Delta E ist bei Halbleitern kleiner als 3eV. Bei null Kelvin befinden sich keine Elektronen im Leitungsband, weshalb der Festkörper nicht elektrisch leitfähig ist. Steigt die Temperatur, können Elektronen in das Leitungsband springen und das Material wird somit leitend. Die elektrische Leitfähigkeit von Halbleitern ist somit stark temperaturabhängig. Die breite der Energielücke von Silizium beträgt 1,1eV. Silizium ist daher ein Halbleiter. Ein weiterer Halbleiter ist Kohlenstoff in Form von Graphit. Dieser wird als Kohleleiter technisch eingesetzt. Dagegen ist die Energielücke Delta E zwischen Valenz- und Leitungsband >3eV. Bei Zimmertemperatur ist das Leitungsband zwar auch teilweise besetzt, aber die elektrische Leitfähigkeit von Isolatoren um etwa 14 Größenordnungen geringer als die von Metallen, σ liegt im Bereich von 10^-8S/m. Als Beispiel von Isolatoren sind alle Arten von Kunststoff zu erwähnen. Also noch einmal zusammenfassend: Energiebänder entstehen durch das Wechselwirken der benachbarten Atome. Das Valenzband in Halbleitern und Isolatoren ist bei null Kelvin voll besetzt. Die Elektronen des Valenzbandes tragen nicht zur elektrischen Leitfähigkeit bei. Die Elektronen des Leitungsbandes bewegen sich frei im Festkörper und tragen daher zur elektrischen Leitfähigkeit bei. In Halbleitern und Isolatoren gibt es zwischen Valenz- und Leitungsband eine Energielücke, die auch verbotene Zone genannt wird. Bei Leitern gibt es keine Energielücke, weswegen deren Leitfähigkeit so groß ist. Die Fermi-Energie bezeichnet das höchstmögliche Energieniveau im Grundzustand. Jetzt weißt Du also, warum ein Metalldraht zum Stromtransport verwendet wird und nicht etwa eine Tasse. Also merke Dir: Anhand des Bändermodells können Leitungsvorgänge in Festkörpern gut veranschaulicht werden. Danke fürs Zuschauen. Bis zum nächsten Mal.