Zerfallsgleichung und Zerfallsreihen

Zerfallsgleichung und Zerfallsreihen beim radioaktiven Zerfall

Wir wollen uns im Folgenden damit beschäftigen, was die Zerfallsgleichung in der Physik beschreibt und was eine Zerfallsreihe ist. Dazu solltest du schon wissen, was Radioaktivität ist.

Was ist die Zerfallsgleichung?

Mit der Zerfallsgleichung, die manchmal auch als Zerfallsgesetz bezeichnet wird, können wir die Anzahl noch nicht zerfallener Atomkerne in einer radioaktiven Probe berechnen. Dabei muss der Anfangsbestand allerdings groß sein. Das liegt daran, dass radioaktiver Zerfall spontan stattfindet, also nicht vorhersagbar ist. Wir können somit lediglich Aussagen über die Wahrscheinlichkeiten von Zerfällen treffen. Bei ausreichend großen Zahlen von Atomkernen können wir anhand dieser Wahrscheinlichkeiten gute Vorhersagen machen – bei kleinen Zahlen allerdings nicht. Das kannst du dir ähnlich wie beim Würfeln vorstellen: Bei einem einzelnen Wurf können wir nicht vorhersagen, welche Augenzahl oben liegt. Bei sehr vielen Würfen können wir aber voraussagen, dass alle Zahlen etwa gleich häufig auftreten.

Wir schreiben zunächst die Zerfallsgleichung in ihrer üblichen Form auf, um uns dann genauer mit den auftretenden Größen zu beschäftigen:

$N(t) = N_0 \cdot \text{e}^{-\lambda t}$

Die Größe $N_0$ ist der Anfangsbestand, also die Anzahl an nicht zerfallenen Atomkernen zum Zeitpunkt $t=0$. Das $\lambda$ ist die stoffspezifische Zerfallskonstante – je größer sie ist, desto schneller zerfällt der Stoff, der betrachtet wird. Das $N(t)$ bezeichnet die Anzahl an Atomkernen, die nach der Zeit $t$ noch nicht zerfallen ist. Wir schauen uns exemplarisch den grafischen Verlauf der Zerfallsgleichung für drei verschiedene Werte für $\lambda$ an.

Alle drei Graphen beginnen bei demselben Anfangsbestand $N_0$ und weisen der Gleichung entsprechend einen exponentiell fallenden Verlauf auf. Dabei fällt der Graph steiler für größere Zerfallskonstanten $\lambda$. Wenn wir einen beliebigen Zeitpunkt $t_1>0$ und den dazugehörigen Bestand $N(t_1)$ der drei Kurven betrachten, ist dieser in unserem Beispiel immer größer für die Kurven mit kleinerer Zerfallskonstante.

Es gibt eine weitere Größe, die im Zusammenhang mit dem Zerfallsgesetz wichtig ist, und zwar die Halbwertszeit. Die Halbwertszeit gibt an, nach welcher Zeit genau die Hälfte des Anfangsbestands der Atomkerne noch nicht zerfallen ist. Sie wird meist mit $T_{1/2}$ bezeichnet. Auch die Halbwertszeit können wir uns grafisch anschauen, indem wir eine Linie bei $\frac{1}{2}N_0$ in unserer Grafik einzeichnen.

Wir sehen, dass die Halbwertszeit von der Zerfallskonstante abhängt. Je größer die Zerfallskonstante ist, desto kleiner ist die Halbwertszeit. Wir können anhand des Zerfallsgesetzes auch einen mathematischen Zusammenhang für die Halbwertszeit herleiten. Wir wissen, dass nach der Zeit $T_{1/2}$ noch ein Bestand von $N(T_{1/2})=\frac{1}{2}N_0$ Kernen nicht zerfallen sein soll. Das setzen wir so in die Gleichung ein:

$N(T_{1/2}) = N_0 \cdot \text{e}^{-\lambda T_{1/2}} = \frac{1}{2}N_0$

Wenn wir den mittleren Term und die rechte Seite miteinander vergleichen, sehen wir, dass gelten muss:

$\text{e}^{-\lambda T_{1/2}} = \frac{1}{2}$

Um diese Gleichung nach $T_{1/2}$ aufzulösen, müssen wir auf beiden Seiten mit dem natürlichen Logarithmus logarithmieren.

$\ln (\text{e}^{-\lambda T_{1/2}}) = \ln (\frac{1}{2})$

Auf der linken Seite wenden wir die Rechenregel für Logarithmen aus Potenzen an, nach der wir den Exponenten als Faktor vor den Logarithmus ziehen dürfen. Auf der rechten Seite wenden wir die Rechenregel für Logarithmen aus Brüchen an, nach dem wir diese als Differenz schreiben dürfen (Falls dir diese Rechenregeln nichts sagen, schau dir im Mathebereich ein Video zum Logarithmus an.):

$-\lambda T_{1/2} \cdot \ln (\text{e}) = \ln (1) - \ln (2)$

Der natürliche Logarithmus von $\text{e}$ ist eins, denn $\text{e}$ ist ja gerade die Basis des natürlichen Logarithmus. Der Logarithmus von eins ist null. Damit vereinfacht sich die Gleichung zu:

$-\lambda T_{1/2} = - \ln (2)$

Jetzt können wir die Gleichung umformen, um einen Zusammenhang zwischen der Zerfallskonstante $\lambda$ und der Halbwertszeit $T_{1/2}$ herzustellen:

$T_{1/2} = \frac{ \ln (2)}{\lambda}$

oder

$\lambda = \frac{\ln (2)}{T_{1/2}}$

Zerfallsreihen auf der Isotopentafel

Wir wissen bereits, dass sich ein Atomkern, der radioaktiv zerfällt, in einen anderen Kern, den Tochterkern, umwandelt. Dieser Tochterkern kann ebenfalls instabil sein und wiederum zerfallen. Die Zerfallsprozesse laufen so lange weiter, bis ein stabiler Tochterkern entsteht. Den Weg vom Mutterkern bis zum letztendlich stabilen Kern nennt man eine Zerfallsreihe.

Man kann solche Zerfallsreihen auf einer Isotopentafel, auch Nuklidkarte, einzeichnen und verfolgen. Auf einer solchen Karte sind, wie der Name schon sagt, Isotope eingezeichnet. Es gibt dabei verschiedene Darstellungen. Häufig ist auf der $x$-Achse die Neutronenzahl und auf der $y$-Achse die Ordnungszahl aufgetragen. Du findest eine vollständige Nuklidkarte auch in deinem Tafelwerk oder im Internet. Wir schauen uns an dieser Stelle einen Ausschnitt einer Nuklidkarte an, um die Zerfallsreihe des Elements Polonium-215 nachzuvollziehen.

Polonium-215 hat 131 Neutronen und 84 Protonen. Auf Isotopenkarten sind die Zerfallsarten der Kerne meist farblich markiert. In unserem Fall steht die Farbe Gelb für den $\alpha$-Zerfall. Polonium-215 zerfällt also über den $\alpha$-Zerfall. Das bedeutet, dass der Tochterkern je zwei Neutronen und Protonen weniger hat als Polonium-215. In der Isotopenkarte müssen wir also je zwei Schritte nach unten und nach links gehen. So landen wir bei Blei-211. Die Farbe Pink steht für den $\beta^{-}$-Zerfall. Beim $\beta^{-}$-Zerfall wandelt sich ein Neutron in ein Elektron, ein Proton und ein Elektron-Antineutrino um. Elektron und Elektron-Antineutrino verlassen den Kern. Also nimmt die Neutronenzahl um eins ab und die Protonenzahl um eins zu. Auf der Isotopenkarte müssen wir also einen Schritt nach links und einen Schritt nach oben gehen. Wir landen bei Bismut-211. Dieses zerfällt wiederum über den $\alpha$-Zerfall, wir gehen also wieder zwei Schritte nach links und zwei Schritte nach unten und landen bei Titan-207. Titan-207 zerfällt wieder über den $\beta^{-}$-Zerfall. Wir gehen also einen Schritt nach links und einen nach oben und landen bei Blei-207. Blei-207 ist stabil, zerfällt also nicht weiter. Hier endet somit die Zerfallsreihe.

Natürliche Zerfallsreihen

Zum Schluss wollen wir uns noch kurz die sogenannten natürlichen Zerfallsreihen anschauen. Als natürliche Zerfallsreihen werden die Zerfallsreihen spezieller primordialer Radionuklide bezeichnet. Radionuklid ist eine andere Bezeichnung für einen radioaktiven Atomkern. Primordial bedeutet, dass es dieses Radionuklid schon bei der Entstehung der Erde gab und auch immer noch gibt – es also noch nicht komplett zerfallen ist. Die natürlichen Zerfallsreihen beziehen sich auf drei spezielle dieser primordialen Radionuklide, und zwar: Uran-238, Uran-235 und Thorium-232. Wir können die zugehörigen Zerfallsreihen nach der Masse ihrer Mutter- und Tochterkerne klassifizieren, wenn wir die Massenzahl auf die folgende Weise ausdrücken:

$A = 4n + m$

Dabei ist $n$ eine natürliche Zahl und $m \in [0, 1, 2, 3]$. In dieser Gleichung bleibt der Wert für $m$ in einer bestimmten Reihe immer konstant, während $n$ variabel ist. Das liegt daran, dass sich die Massenzahl $A$ beim $\alpha$-Zerfall um vier Einheiten ändert und beim $\beta$-Zerfall konstant bleibt. Wenn wir also eine beliebige Massenzahl durch vier teilen, können wir sie als Summe aus dem Produkt aus Quotientenwert und vier und einer Zahl zwischen null und drei darstellen. Bei $\beta$-Zerfällen ändert sich entsprechend nur der Quotientenwert, weil die Massenzahl sich gerade um vier ändert. Betrachten wir beispielsweise Uran-238. Die Massenzahl 238 können wir schreiben als:

$A = 238= 236 + 2 = 4 \cdot 59 + 2$

Im ersten Schritt der Reihe zerfällt das Nuklid über den $\alpha$-Zerfall, also nimmt seine Massenzahl um vier ab:

$A_{Tochter} = 234 = 232 + 2 = 4 \cdot 58 + 2 $

Während sich $n$ um eins reduziert hat, ist $m$ konstant geblieben. Beim $\beta$-Zerfall ändern sich weder $n$ noch $m$.

Aufgrund dieser Systematik ergeben sich die folgenden Zerfallsreihen:

• Uran-238: die Uran-Radium-Reihe oder auch die $4n+2$-Reihe
• Uran-235: die Uran-Actinium-Reihe oder auch die $4n+3$-Reihe
• Thorium-232: die Thorium-Reihe oder auch die $4n$-Reihe

Manchmal wird auch die Neptunium-Reihe, die von Neptunium-237 ausgeht, als natürliche Zerfallsreihe betrachtet – obwohl primordiales Neptunium-237 mittlerweile nicht mehr auf der Erde vorhanden ist. Es entsteht allerdings in kleinen Mengen beispielsweise in Kernreaktoren. Mit Neptunium-237 wird die $4n+m$-Systematik vervollständigt:

• Neptunium-237: die Neptunium-Reihe oder auch die $4n+1$-Reihe

Zerfallsgleichung und Zerfallsreihen – Zusammenfassung

Wir wollen die wichtigsten Stichpunkte, die wir zum Thema Zerfallsgesetz gelernt haben, noch einmal zusammenfassen:

• Das Zerfallsgesetz bzw. die Zerfallsgleichung sagt voraus, wie viele Kerne eines radioaktiven Materials nach einer bestimmten Zeit noch nicht zerfallen sind.
• Das Zerfallsgesetz beschreibt einen exponentiell abfallenden Verlauf.
• Die Zerfallskonstante sagt aus, wie schnell ein Stoff zerfällt.
• Die Halbwertszeit gibt an, nach welcher Zeit genau die Hälfte des Stoffs zerfallen ist.
• Mit einer Isotopentafel können Zerfallsreihen beschrieben werden.
• Es gibt drei natürliche Zerfallsreihen – manchmal spricht man auch von vier natürlichen Zerfallsreihen.

In diesem Video wird dir das Zerfallsgesetz bzw. die Zerfallsgleichung auf einfache Weise erklärt. Du erhältst Antworten auf die Fragen: Wie lautet das Zerfallsgesetz? Was sagt die Zerfallsgleichung aus? Was ist eine Zerfallsreihe und wie lese ich sie ab? Video und Text werden durch interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt ergänzt.