Vektorgröße – Geschwindigkeit

Vektorgröße – Geschwindigkeit Übung

• Beschreibe den Unterschied zwischen Skalar und Vektor.

  Tipps

  Ob es sich um eine vektorielle oder eine skalare Größe handelt, hängt davon ab, ob man für sie auch eine Richtung angeben kann.

  Lösung

  Oft genügt es nicht, nur den Betrag einer Größe anzugeben, um diese vollständig zu beschreiben. Als Beispiel kann man hier die Beschleunigung nennen. Stell dir z.B. einen Apfel vor, der von einem Baum fällt. Die Erdbeschleunigung beträgt etwa 10 $m/s^2$. Man kann also mit der Angabe dieser Betragsgröße sagen, dass der Apfel, sobald sein Stiel vom Ast gebrochen ist, mit 10 $m/s^2$ beschleunigt wird. Nun hat die Erfahrung gezeigt, dass dies auf einer geradlinigen Bahn nach unten passiert. Diese Information ist aber in der Betragsgröße noch nicht enthalten. Der Apfel könnte nach dieser Angabe genauso gut in Richtung Himmel beschleunigt werden. Vektorielle Größen sind daher in der Physik, z.B. bei der vollständigen Beschreibung von Bewegungen, unverzichtbar.

  So ist auch die vektorielle Größe der Erdbeschleunigung in Richtung des Erdmittelpunktes gerichtet.

• Nenne Beispiele für skalare und vektorielle Größen.

  Tipps

  Für eine vektorielle Größe kann immer eine Richtung angegeben werden.

  Lösung

  Die Kraft (Einheit $N$), die Geschwindigkeit ($m/s$), die Beschleunigung ($m/s^2$), der Impuls ($N\cdot s$) und der Drehimpuls ($\frac{kg\cdot m^2}{s}$) sind Größen, für die man einen Betrag und eine Richtung angeben kann.

  Der Wert der Temperatur (°$C$), der Masse ($kg$), der Zeit ($s$) und des Volumens ($m^3$) kann hingegen nur als Betrag angegeben werden. Es handelt sich daher um skalare Größen. So kann zwar z.B. der Wert der Temperatur auch negative Werte annehmen (z.B. -2 °$C$). Das bedeutet aber noch nicht, dass hier auch eine Richtung vorgegeben ist! Es sei noch erwähnt, dass die Zeit im Rahmen der Relativitätstheorie eine besondere Rolle einnimmt. In der klassischen Physik kann sie aber als skalare Größe betrachtet werden.

• Schätze den Betrag der Geschwindigkeit der Billardkugeln ab.

  Tipps

  Mit der Pfeildarstellung von Vektoren lassen sich zwei Eigenschaften des Vektors darstellen. Die Richtung des Pfeils verdeutlicht die Richtung der Geschwindigkeit.

  Lösung

  Um die Bewegung einer Billardkugel auf dem Tisch genau erklären zu können, muss man angeben, wie groß der Betrag ihrer Geschwindigkeit ist und in welche Richtung sich die Kugel mit der Geschwindigkeit bewegt. Eine vektorielle Größe beinhaltet beide dieser Angaben. Es bietet sich daher an, Vektoren mit Pfeilen darzustellen. Die Richtung des Pfeils zeigt hierbei die Richtung der Bewegung an. Die Länge des Pfeils ist ein Maß für den Betrag der Geschwindigkeit. Man kann auch sagen, dass die Länge des Pfeils das Tempo der Kugel angibt. Hieraus ergibt sich die Reihenfolge der Billardkugeln: Je länger der Pfeil, desto höher der Betrag der Geschwindigkeit beziehungsweise das Tempo der Kugel.

  Die Richtung der Pfeile war für die Beantwortung der Aufgabe unwichtig. Bedenke aber, dass auf die Angabe der Richtung einer vektoriellen Größe nicht verzichtet werden kann. In der Abbildung sind hierfür nochmal zwei Kugeln dargestellt. Sie haben das gleiche Tempo, ihre vektoriellen Geschwindigkeiten unterscheiden sich dennoch aufgrund der verschiedenen Richtungen, in die sie sich bewegen. Es gilt also $\overrightarrow{v}_{blau}\neq \overrightarrow{v}_{rot}$.

• Nenne Beispiele, bei denen eine Änderung der vektoriellen Größe Geschwindigkeit auftritt.

  Tipps

  Die vektorielle Größe Geschwindigkeit hat einen Betrag und eine Richtung.

  Man kann von einer Geschwindigkeitsänderung sprechen, wenn sich Betrag oder Richtung verändern.

  Lösung

  Bei der Geschwindigkeit handelt es sich um eine vektorielle Größe, denn jede Bewegung hat eine Richtung.

  Um entscheiden zu können, ob eine Geschwindigkeitsänderung in den genannten Beispielen vorliegt, musst du also immer jeweils entscheiden, ob sich der Betrag der Geschwindigkeit verändert und ob es zu einer Änderung der Richtung der Bewegung kommt. Trifft eines von beidem zu, so kann man sagen, dass sich die Geschwindigkeit verändert.

  Man kann sich hierfür das Beispiel mit dem Mond, der sich auf einer Kreisbahn um die Erde bewegt, noch einmal genauer anschauen. Nimmt man die Geschwindigkeit als skalare Größe an, betrachtet also nur ihren Betrag, dann kann man sagen, dass hier keine Geschwindigkeitsänderung vorliegt. Die Geschwindigkeit als vektorielle Größe verändert sich auf einer Kreisbahn jedoch zu jeder Zeit. So steht der Geschwindigkeitsvektor in jedem Punkt, in dem sich der Mond gerade befindet, tangential auf seiner Kreisbahn.

• Nenne physikalische Formelzeichen, die für eine vektorielle oder skalare Größe stehen.

  Tipps

  Ein Vektor ist eine gerichtete Größe. Dies wird auch bei Betrachtung der Formelzeichen deutlich.

  Lösung

  Um zu verdeutlichen, dass es sich um eine vektorielle Größe handelt, wird das Formelzeichen mit einem Pfeil versehen. Die Verwendung eines Pfeils soll verdeutlichen, dass es sich bei Vektoren um gerichtete Größen handelt. Wenn man nur den Betrag einer vektoriellen Größe und nicht die dazugehörige Richtung angeben möchte, dann kann man auf den Pfeil über dem Formelzeichen verzichten. Eine alternative Darstellung ist, das vektorielle Formelzeichen in Betragsstriche zu setzen. Gibst du also z.B. die Geschwindigkeit als Betragsgröße an, so solltest du das Formelzeichen $v$ oder $|\overrightarrow{v}|$ verwenden. Meinst du die vektorielle Größe, die eine Angabe der Richtung der Geschwindigkeit einschließt, dann solltest du das Formelzeichen $\overrightarrow{v}$ verwenden.

  In der Physik gibt es unzählige Formelzeichen, die z.T. sogar nicht ganz einheitlich verwendet werden. Hier sind daher nochmal die Formelzeichen aus der Aufgabe zusammen mit ihrer Bedeutung aufgelistet.

  Die vektoriellen Größen:

  $\overrightarrow{a}$: die Beschleunigung

  $\overrightarrow{v}$: die Geschwindigkeit

  $\overrightarrow{L}$: der Drehimpuls

  $\overrightarrow{p}$: der Impuls

  Die skalaren Größen:

  $m$: die Masse

  $V$: das Volumen

  $T$: die Temperatur

  $t$: die Zeit

• Analysiere die Windvorhersage für Nordeuropa.

  Tipps

  Wenn du die genannten Orte auf der Karte nicht erkennst, dann nimm dir einen Atlas zur Hand.

  Links = Westen, Oben = Norden, Rechts = Osten, Unten = Süden.

  Lösung

  Durch die Pfeile, die in die Karte eingezeichnet wurden, sind an jedem dargestellten Ort Aussagen über die Windgeschwindigkeiten möglich. An der Richtung und der Länge der Pfeile können sowohl die Windrichtungen als auch die Beträge der Windgeschwindigkeiten abgeschätzt werden. Wenn auf einer größeren Fläche oder auch in einem Volumen physikalische Größen durch Vektorpfeile dargestellt werden, dann spricht man auch von einem Vektorfeld. Vektorfelder haben zum Beispiel auch bei der Betrachtung von Meeresströmungen und elektrischen und magnetischen Feldern eine Bedeutung.