Temperaturausgleich (Übungsvideo)

Temperaturausgleich (Übungsvideo) Übung

• Beschreibe, wie sich die Mischtemperatur ergibt.

  Tipps

  Wenn du ein Wärmekissen in deinen Händen hältst, welcher Körper wird dann wärmer und welcher kälter?

  Wärme fließt immer vom wärmeren zum kälteren Körper.

  Wenn du in einen kalten See springst, dann erwärmt sich der See ein bisschen und du kühlst ab. Aber liegt die Mischtemperatur genau in der Mitte zwischen deiner Temperatur und der des Sees?

  Lösung

  Es gilt beim Wärmeaustausch ein grundlegendes Gesetz:
  Wärme fließt immer vom wärmeren zum kälteren Körper

  Es nimmt also der kältere Körper immer die Wärme auf, die der wärmere Körper abgibt. Dabei erwärmt er sich.
  Der wärmere Körper kühlt dementsprechend ab.

  Die Mischtemperatur muss deswegen immer zwischen den beiden Anfangstemperaturen liegen. Ansonsten würde das Gesetz gebrochen werden und der wärmere Körper müsste sich zum Beispiel noch weiter erwärmen.
  Das wirst du aber niemals beobachten können.

  Auch muss die Temperatur nicht immer in der Mitte der Anfangstemperaturen liegen.
  Stell dir vor, du springst in einen großen, kalten See. Es passiert Folgendes:

  • Der See erwärmt sich etwas.
  • Du kühlst etwas ab.

  Jedoch wird die Mischtemperatur bestimmt nicht in der Mitte liegen, denn der See ist ja viel größer als du.
  Wo sich die Mischtemperatur befindet, hängt immer auch mit dem Mischverhältnis zusammen.
  Das heißt damit, wie viel von einem Stoff jeweils gemischt wird.

• Nenne eine Formel zur Berechnung der benötigten Wärme, um einen Stoff um eine bestimmte Temperatur zu erwärmen.

  Tipps

  Es soll die Wärme angegeben werden. Sie muss demnach zumindest in der Gleichung vorhanden sein. Welches Formelzeichen wird für die Wärme genutzt?

  Der Stoff soll um eine bestimmte Temperatur erwärmt werden. Kann dann in der Formel eine absolute Temperatur angegeben werden oder muss es sich um eine Temperaturdifferenz handeln?

  Die zuzuführende Wärme ist bei jedem Stoff unterschiedlich und hängt von der spezifischen Wärmekapazität des Stoffes ab.

  Lösung

  Um einen Stoff zu erwärmen, müssen wir ihm Wärme zuführen. Dafür gibt es die verschiedensten Möglichkeiten, dir fallen sicher einige ein.

  Wir können auch ganz genau berechnen, wie viel Wärme einem Stoff zugeführt werden muss, um ihn um eine bestimmte Temperatur zu erwärmen.
  Anfangs- und Endtemperatur des Stoffes sind dabei egal, es geht nur um die Temperaturdifferenz $\Delta T$.
  Es muss also genauso viel Wärme zugeführt werden, wenn ein Stoff von 3 °C auf 13 °C erwärmt werden soll, wie wenn er von 80 °C auf 90 °C erwärmt werden soll. Der Stoff soll in beiden Beispielen um 10°C erwärmt werden.

  Die zuzuführende Wärme trägt immer das Formelzeichen $Q$. Sie ist je nach Stoff unterschiedlich. Dies spiegelt sich in der spezifischen Wärmekapazität $c$ wider.

  Weiter ist es auch relevant, wie viel eines Stoffes erwärmt werden soll. Es wird dabei die Masse $m$ betrachtet, denn während sich das Volumen mit zunehmender Erwärmung verändern kann, bleibt die Masse immer gleich.

• Erkläre die Vorgehensweise zur Berechnung der Mischtemperatur.

  Tipps

  Stelle zuerst fest, was passiert, wenn zwei unterschiedlich warme Körper zusammengeführt werden. Wie ändert sich die Temperatur der Körper?

  Die aufgenommene und die abgegebene Wärme können mit sehr ähnlichen Formeln berechnet werden. Finde, nachdem du den Rechnungsansatz aufgestellt hast, die Formel, die als Grundlage dient.

  Lösung

  Es wird grundsätzlich angenommen, dass der Mischvorgang nicht mit der Umgebung interagiert.
  Das heißt, es wird keine Wärme an die Umgebung abgegeben oder durch die Körper von dieser aufgenommen.

  Wenn Körper mit unterschiedlichen Temperaturen gemischt werden, dann ergibt sich eine gemeinsame Mischtemperatur.
  Es ist dann ein einzelner Körper und der weist niemals mehr als eine Temperatur auf.

  Es ist daher sinnvoll, zuerst festzustellen, dass die abgegebene Wärme und die aufgenommene Wärme gleich groß sein müssen.

  Diese können grundlegend mit derselben Formel berechnet werden. Es gilt hier die Formel zum Erwärmen eines Körpers um eine bestimmte Temperatur.

  Als Nächstes kann festgestellt werden, wie die Formel für die einzelnen Größen $Q_{auf}$ und $Q_{abg}$ modifiziert werden muss und wo sich dort die Mischtemperatur findet.
  Stell dir dazu die Frage, wie sich diese Größen unterscheiden.

  Die Größe $\Delta T$ der Formel gibt eine Temperaturdifferenz an und muss damit positiv sein. Diese besteht immer aus der Ausgangstemperatur und der Endtemperatur. Diese entspricht genau der Mischtemperatur.
  Wie verhalten sich die Ausgangstemperaturen im Verhältnis zur Mischtemperatur?

  • Beim wärmeren Körper ist die Ausgangstemperatur $T_A$ größer. Es gilt $\Delta T= T_A - T_m$.
  • Beim kälteren Körper ist die Ausgangstemperatur kleiner. Es gilt $\Delta T=T_m - T_A$.

  Da die Wärmen gleich groß sein müssen, können die Formeln gleichgesetzt werden und nach der Mischtemperatur umgestellt werden. Dies ist der letzte Schritt.

• Ermittle die Mischtemperatur.

  Tipps

  Mit dieser Formel können die abgegebene Wärme $Q_{abg}$ und die aufgenommene Wärme $Q_{auf}$ berechnet werden. Wie ergibt sich hierbei die Temperaturdifferenz $\Delta T$?

  Für die spezifischen Wärmekapazitäten gilt:

  • $c_{Ethanol}= 2,43~ \dfrac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$
  • $c_{Wasser}=4,182~ \dfrac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$

  Da die abgegebene Wärme der aufgenommenen Wärme entspricht, gilt folgende Formel:

  $m_w \cdot c_w \cdot (T_{w}-T_m) = m_k \cdot c_k \cdot (T_m-T_{k})$

  Der Index $w$ steht für den wärmeren Körper und $k$ für den kälteren. Wie kann damit die Mischtemperatur berechnet werden?

  Die zuvor genannte Formel wird nach der Mischtemperatur wie folgt umgestellt:

  $T_m=\dfrac{m_w \cdot c_w \cdot T_{w} + m_k \cdot c_k \cdot T_{k}}{m_k \cdot c_k + m_w \cdot c_w}$

  Lösung

  Mithilfe der Formel
  $Q= m \cdot c \cdot \Delta T$ können die abgegebene Wärme $Q_{abg}$ und die aufgenommene Wärme $Q_{auf}$ berechnet werden.

  Die Temperaturdifferenz $\Delta T$ entspricht hierbei immer der Differenz zwischen jeweiliger Anfangstemperatur und der Mischtemperatur $T_m$.

  Wärme fließt immer vom wärmeren zum kälteren Körper. Es ergeben sich folgende Aussagen:

  • Bei $Q_{abg}$ ist die Ausgangstemperatur $T_w$ (Temperatur des wärmeren Körpers) wärmer als die Mischtemperatur und es folgt $\Delta T=T_{w}-T_m$.
  • Bei $Q_{auf}$ ist die Ausgangstemperatur (Temperatur des kälteren Körpers) kälter als die Mischtemperatur und es folgt $\Delta T= T_m - T_{k}$.

  Also folgt:
  $Q_{abg}= m_w \cdot c_w \cdot (T_{w}-T_m)$
  $Q_{auf}=m_k \cdot c_k \cdot (T_m-T_{k})$

  Die abgegebene Wärme entspricht dabei der aufgenommenen Wärme. Darum folgt:
  $m_w \cdot c_w \cdot (T_{w}-T_m) = m_k \cdot c_k \cdot (T_m-T_{k})$

  Diese Formel wird nach der Mischtemperatur $T_m$ umgestellt und zuletzt können die gegebenen Werte eingesetzt werden.
  Die wärmere Flüssigkeit ist hierbei Ethanol.
  Die kältere Flüssigkeit ist hierbei Wasser.

  Es folgt:
  $\begin{align} && m_w \cdot c_w \cdot (T_{w}-T_m) &= m_k \cdot c_k \cdot (T_m-T_{k}) \\ &\Leftrightarrow& m_w \cdot c_w \cdot T_{w}- m_w \cdot c_w \cdot T_m &= m_k \cdot c_k \cdot T_m- m_k \cdot c_k \cdot T_{k} \\ &\Leftrightarrow& m_w \cdot c_w \cdot T_{w}+m_k \cdot c_k \cdot T_{k} &= m_k \cdot c_k \cdot T_m + m_w \cdot c_w \cdot T_m \\ &\Leftrightarrow& T_{m} \cdot (m_{k} \cdot c_{k} + m_{w} \cdot c_{w}) &=m_{w} \cdot c_{w} \cdot T_{w}+m_{k} \cdot c_{k} \cdot T_{k} \\ &\Leftrightarrow& T_m &= \dfrac{m_{w} \cdot c_{w} \cdot T_{w}+m_{k} \cdot c_{k} \cdot T_{k}}{m_{k} \cdot c_{k} + m_{w} \cdot c_{w}} \\ \end{align}$

  Mit eingesetzten Werten ergibt sich dann:
  $\begin{align} T_m&=\dfrac{1 ~\text{kg} \cdot 2,43 ~ \dfrac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}} \cdot 293,15 ~ \text{K}+ 1,5 ~\text{kg} ~ \cdot 4,182 ~ \dfrac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}~ \cdot 291,15 ~ \text{K}}{1,5 ~\text{kg} \cdot 4,182 \dfrac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}} + 1 ~ \text{kg} \cdot 2,43 ~ \dfrac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}} \\ &= 291,71 ~ \text{K} \end{align}$

  Die Temperaturen könnten hier auch in Celsius angegeben werden, da sich die restlichen Einheiten kürzen. Dies kannst du mit einer Einheitenrechnung überprüfen.

• Nenne richtige Aussagen zum Temperaturausgleich.

  Tipps

  Du kannst zwei Flüssigkeiten ordentlich vermischen, indem du die eine zur anderen schüttest und sie anschließend noch etwas umrührst. Es ergibt sich dann eine neue Flüssigkeit, die eine Kombination der Ausgangsflüssigkeiten darstellt.
  Welche Aussagen kannst du über die Temperatur der Flüssigkeit treffen?

  Eine Flüssigkeit hat immer nur eine Temperatur. Können dann zwei Temperaturen existieren, wenn du zwei Flüssigkeiten miteinander vermischt hast?

  Wenn du einen warmen und einen kalten Körper aneinander hältst, ist es nicht möglich, dass der warme Körper noch wärmer und der kalte noch kälter wird. In welche Richtung muss die Wärme dann fließen?

  Lösung

  Du kannst viele Aussagen zum Temperaturausgleich selber überprüfen. Besonders einfach geht dies mit zwei Flüssigkeiten, die unterschiedlich warm sind.

  Indem du sie zusammen kippst und anschließend gut verrührst, kannst du sie ordentlich vermischen.
  Es ergibt sich eine neue Flüssigkeit, bestehend aus den Ausgangsflüssigkeiten.
  Eine Flüssigkeit kann dabei immer nur eine Temperatur haben. Deswegen muss sich immer eine Mischtemperatur bilden.
  Diese muss zwischen den Ausgangstemperaturen liegen.

  Das hängt mit einem erfahrungsbasierten Gesetz der Wärmelehre zusammen:

  • Wärme fließt immer vom wärmeren zum kälteren Körper.

  Ansonsten könnte bei Zusammenführung eines warmen und eines kalten Körpers der warme noch wärmer und der kalte noch kälter werden. Das geht aber nicht.

  Die Mischtemperatur muss nicht in der Mitte der Ausgangstemperaturen liegen.
  Das kannst du zum Beispiel feststellen, indem du viel warmes Wasser mit etwas kaltem Wasser vermischst.
  Es hängt also vom Volumen der Flüssigkeiten, beziehungsweise allgemein von der Masse der jeweiligen Mischkörper ab.

• Bestimme die Mischtemperatur.

  Tipps

  Gehe wie beim Aufstellen der allgemeinen Formel zur Mischtemperatur vor und überlege, welche Größen du kürzen kannst.

  Die abgegebene Wärme entspricht der aufgenommenen Wärme. Es gilt:

  $m_w \cdot c_w \cdot (T_{w}-T_m) = m_k \cdot c_k \cdot (T_m-T_{k})$

  Bedenke, dass die Körper aus demselben Material sind. Auf welche Größe hat dies einen Einfluss?

  Wie kannst du die Masse des einen Körpers in Abhängigkeit von der des anderen ausdrücken?

  Lösung

  Wichtig ist die Angabe, dass die Körper aus demselben Material hergestellt sind.
  Dadurch gilt für die spezifischen Wärmekapazitäten:
  $c_1=c_2=c$

  Die Masse des einen kann in Abhängigkeit der Masse des anderen Körpers angegeben werden.

  Zum Auseinanderhalten sollten die Körper benannt werden.

  • Der Körper $w$ ist der wärmere. Es folgt $T_w=53 ~^\circ\text{C}$.
  • Der Körper $k$ ist der kältere. $T_k=35 ^\circ\text{C}$

  Der Körper $k$ soll doppelt so schwer sein wie der Körper $w$. Es gilt also:

  $m_k=2 \cdot m_w$

  Nun kommen die aus vorigen Aufgaben bekannten Überlegungen.
  Die abgegebene Wärme entspricht der aufgenommenen und es ergibt sich die Gleichung:

  $m_w \cdot c \cdot (T_{w}-T_m) = 2 \cdot m_w \cdot c \cdot (T_m-T_{k})$

  Hier kürzen sich $m_w$ und $c$ heraus. Die Formel wird anschließend nach der Mischtemperatur umgestellt.
  $\begin{align} && T_{w}-T_m&= 2 \cdot (T_m-T_{k}) \\ &\Leftrightarrow& T_w - T_m &= 2 \cdot T_m - 2 \cdot T_k& \\ &\Leftrightarrow& T_w+2 \cdot T_k &= 3 \cdot T_m \\ &\Leftrightarrow& T_m &= \frac{T_w + 2 \cdot T_k}{3} \end{align}$

  Wenn hier die gegebenen Werte eingesetzt werden folgt das Ergebnis:
  $T_m = \dfrac{53 ~ ^\circ\text{C} + 2 \cdot 35 ~^\circ\text{C}}{3}=41 ~ ^\circ\text{C}$