Optische Abbildungen
Verstehe optische Abbildungen: Entdecke, wie Bilder durch Linsen und Spiegel mittels Strahlenoptik erzeugt werden. Lerne die Grundlagen von Bildkonstruktion, reellen und virtuellen Bildern sowie die Unterschiede zwischen ihnen. Interessiert an der faszinierenden Welt der Optik? Tauche tiefer ein und erfahre mehr in unserem Artikel!
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Grundlagen zum Thema Optische Abbildungen
Was ist eine optische Abbildung?
Unter einer optischen Abbildung versteht man per Definition die Erzeugung eines Bildes ausgehend von einem Gegenstand mithilfe eines optischen Systems. Einfache optische Systeme sind z. B. Spiegel oder Linsen. Allgemein können sich optische Systeme aber auch aus vielen hintereinander liegenden Linsen und Spiegeln zusammensetzen, so wie es z. B. in Kameraobjektiven oder Teleskopen der Fall ist.
Eine einfache und anschauliche Bestimmung der durch ein optisches System erzeugten Abbildung liefert die Strahlenoptik. Mithilfe dieser lassen sich Gegenstand und Bild aus einer Vielzahl von zusammengesetzten Gegenstandspunkten bzw. Bildpunkten beschreiben, wobei jeder Gegenstandspunkt einem Bildpunkt zugeordnet werden kann. Die Zusammensetzung aller Bildpunkte ergibt dann das gesamte Bild.
Konstruktion von Abbildungen
Doch wie entsteht nun eine optische Abbildung bzw. ein Bild?
In den meisten Fällen musst du jedoch nicht alle Gegenstands- und Bildpunkte betrachten, um die Bildeigenschaften deiner optischen Abbildung bestimmen zu können. Hierfür genügt es in der Regel, dir nur die Entstehung des Bildpunktes ausgehend vom höchsten Punkt deines Gegenstandes anzuschauen. Dieser entsteht, wenn sich der Parallelstrahl, der Mittelpunktstrahl und der Brennpunktstrahl nach der Lichtbrechung oder Reflexion an einem optischen System (einer Linse oder einem Spiegel) wieder vereinigen.
Veranschaulichen kannst du dir das besonders gut mit einer Zeichnung. In diese zeichnest du zunächst die optische Achse sowie die Position der Linse auf dieser ein. In diesem Beispiel betrachten wir die optische Abbildung durch eine Sammellinse (konvexe Linse).
Danach folgen die Brennpunkte f und f'. f bezeichnet in der Regel den Brennpunkt auf der Gegenstandsseite und f' den Brennpunkt auf der Bildseite. Die Unterscheidung zwischen f und f' wird hierbei gemacht, da bei nicht symmetrischen Linsen der Brennpunkt auf der Gegenstandsseite von der Linse einen anderen Abstand haben kann, als der Brennpunkt auf der Bildseite. Platziere nun deinen Gegenstand im von dir gewählten oder vorgegebenen Abstand von der Linse. Dieser Abstand wird auch Gegenstandsweite g genannt. Die Höhe des Gegenstands wird auch als Gegenstandsgröße G bezeichnet.
Beginne nun damit, den Parallelstrahl sowie Mittelpunktstrahl und Brennpunktstrahl bis zur Mittelebene der Linse (auch Linsenebene) auf der Gegenstandsseite einzuzeichnen. Diese Strahlen zeichnest du vom höchsten Punkt des Gegenstandes ausgehend ein. Dabei verläuft der Parallelstrahl parallel zur optischen Achse und der Brennpunktstrahl durch den gegenstandseitigen Brennpunkt. Der Mittelpunktstrahl passiert die Linse in ihrer Mitte.
Bei der Brechung an der Linsenebene werden Parallelstrahlen zu Brennpunktstrahlen und Brennpunktstrahlen zu Parallelstrahlen. Der Mittelpunktstrahl bleibt unverändert. Zeichne nun ausgehend vom Schnittpunkt des gegenstandsseitigen Parallelstrahls mit der Linsenebene einen Brennpunktstrahl auf der Bildseite ein und ausgehend vom Schnittpunkt des Brennpunktstrahls der Gegenstandsseite mit der Linsenebene einen Parallelstrahl auf der Bildseite.
Hast du nun alle drei Strahlen eingezeichnet, so sollten sich diese im gezeigten Beispiel und im Falle einer Sammellinse (konvexen Linse) auf der Bildseite schneiden. Dieser Schnittpunkt ist der zu deinem Gegenstandspunkt gehörige Bildpunkt. Die Höhe des Bildpunktes über der optischen Achse wird auch als Bildgröße B bezeichnet und der Abstand von der Linse entlang der optischen Achse als Bildweite b. Für Zerstreuungslinsen (konkave Linsen) wirst du feststellen, dass sich die Strahlen auf der Bildseite nicht schneiden werden.
Das Verhältnis zwischen Bildgröße B und Gegenstandsgröße G wird als Abbildungsmaßstab A bezeichnet. Gleichzeitig definiert der Abbildungsmaßstab aber auch das Verhältnis zwischen der Bildweite b und der Gegenstandsweite g.
$A = \dfrac{B}{G} = \dfrac{b}{g}$
Mit dieser Formel lässt sich unter Kenntnis der Bildweite somit die Bildgröße deiner optischen Abbildung wie folgt bestimmen:
$ B = \dfrac{b}{g} \cdot G $
Reelle und virtuelle Bilder
Das Bild, welches du gerade konstruiert hast, wird als reelles Bild bezeichnet, da sich die Lichtstrahlen auf der Bildseite schneiden. Somit ist es möglich, das erzeugte Bild mit einem Blatt Papier oder einem Schirm aufzufangen und anzuschauen. Das Gegenstück zu einem reellen Bild wird als virtuelles Bild bezeichnet. Hier vereinigen sich die Lichtstrahlen auf der Bildseite nicht mehr. Das Bild kann somit nicht mit einem Schirm aufgefangen werden.
Oben haben wir schon erwähnt, dass sich bei Zerstreuungslinsen die Strahlen auf der Bildseite nicht vereinigen. Hier entstehen, auf der Gegenstandsseite, immer virtuelle Bilder. Doch auch mit Spiegeln oder konvexen Linsen kann man unter bestimmten Umständen virtuelle Bilder erzeugen. Unter welchen Bedingungen das bei Sammellinsen der Fall ist, erfährst du in der folgenden Tabelle.
| Reelle Bilder | Virtuelle Bilder | |
|---|---|---|
| Eigenschaften | Die Strahlen vereinigen sich auf der Bildseite. --> Die Strahlen können mit einem Schirm aufgefangen werden. |
Die Strahlen vereinigen sich auf der Bildseite nicht mehr. --> Es kann auf einem Schirm kein Bild erzeugt werden. |
| Erzeugung (bei Sammellinsen) | Werden erzeugt, wenn sich das Objekt von der Linse aus gesehen hinter dem Brennpunkt befindet. |
Werden erzeugt, wenn sich das Objekt zwischen dem Brennpunkt und der Linse befindet. |
Abbildungsfehler einer optischen Abbildung
Als Abbildungsfehler werden Effekte bezeichnet, welche, ausgenommen einer Vergrößerung oder Verkleinerung, eine ungewollte Veränderung (z. B. eine Verzerrung) der optischen Abbildung bewirken. Die zwei häufigsten Abbildungsfehler sind die sphärische und die chromatische Aberration.
Zusammenfassung zu den optischen Abbildungen
In diesem Video wird dir die Entstehung von optischen Abbildungen auf einfache Weise erklärt. Die folgenden Stichpunkte fassen die wichtigsten Informationen zu diesem Thema noch einmal zusammen:
- Durch ein optisches System wird das Bild eines Gegenstands erzeugt.
- Das Verhältnis von Bildgröße zu Gegenstandsgröße ist der sogenannte Abbildungsmaßstab.
- Es können reelle und virtuelle Bilder entstehen.
Als Beispiel wird dir die Rekonstruktion einer optischen Abbildung mit einer Linse gezeigt. Daraus lässt sich auch das Abbildungsgesetz herleiten:
Transkript Optische Abbildungen
Wir nutzen Linsen und optische Geräte, um kleine Dinge zu vergrößern und ferne Objekte ganz nah erscheinen zu lassen. All das sind „Optische Abbildungen“. In diesem Video lernst du, wie solche Abbildungen zu Stande kommen und welche Größen dabei entscheidend sind. Eine einfache optische Abbildung erhalten wir, wenn Licht, das von einem „Gegenstand“ in unsere Richtung gestreut wird, durch eine „Sammellinse“ tritt. Das können wir besonders gut veranschaulichen, wenn der Gegenstand auf einer Linie mit dem Mittelpunkt der Linse liegt, also auf der „optischen Achse“. Statt unserer Augen können wir auch einen „Schirm“ nutzen, der das „Bild“ des Gegenstands auffängt. Wie du siehst, steht das Bild auf dem Kopf. Das ergibt sich daraus, wie das Licht in der Linse gebrochen wird. Dazu sehen wir uns mal die „Konstruktion“ des Bildes genauer an. Von einem Punkt des Gegenstands ziehen wir einen „Parallelstrahl“ zur Linse. Dieser wird so gebrochen, dass er als „Brennpunktstrahl“ den rechten der beiden Brennpunkte der Linse schneidet, also „F-eins“. Vom gleichen Punkt ziehen wir dann einen Strahl durch den Mittelpunkt der Linse. Ein solcher „Mittelpunktstrahl“ wird nicht gebrochen und schneidet den Brennpunktstrahl genau dort, wo sich der abgebildete Bildpunkt befindet. Wenn wir das Punkt für Punkt wiederholen, können wir den Gegenstand exakt abbilden. Bei einer schematischen Betrachtung reicht aber schon ein Punkt, um die Ebene zu bestimmen, in der ein scharfes Bild auf einen „Schirm“ projiziert werden kann. Sehen wir uns jetzt an, wie sich das Bild verändert, wenn wir die Position des Gegenstandes zur Linse ändern. Dazu betrachten wir die Gegenstandsgröße „groß-G“, die Gegenstandsweite „klein-G“, die Bildgröße „groß-B“ und die Bildweite „klein-B“. Wächst die Gegenstandsweite „klein-G“, wird das Bild kleiner und rückt näher an die Linse heran. „groß-B“ und „klein-B“ werden also kleiner. Rückt der Gegenstand näher an den zweiten Brennpunkt „F-zwei“ der Linse heran, wird das Bild größer und entfernt sich von der Linse. Ist der Abstand zwischen dem Gegenstand und dem linken Brennpunkt „F-zwei“ genauso groß wie der Abstand zwischen Brennpunkt und Linse, also „klein-G“ gleich zweimal der Brennweite „klein-F“, dann erscheint das Bild genau gleich groß und in gleichem Abstand auf der anderen Seite. Also „groß-B gleich groß-G“ und „klein-B gleich klein-G“. Der „Abbildungsmaßstab“, der das Verhältnis von Bildgröße zu Gegenstandsgröße, also „groß-B“ zu „groß-G“, beschreibt, ist dann genau „Eins“. Ganz allgemein gilt für optische Abbildungen das „Abbildungsgesetz“, das besagt, dass das Verhältnis von „Gegenstandsgröße“ zu „Gegenstandsweite“ gleich dem von „Bildgröße“ zu „Bildweite“ ist, also „groß-G durch klein-G“ gleich „groß-B durch klein-B“. Man kann die Gleichung auch umformen und umgekehrt schreiben. Beide Formen kannst du dir gut merken, solange du beachtest, dass gleiche Buchstaben auf der gleichen Seite stehen. Das Abbildungsgesetz ergibt sich übrigens aus dem zweiten Strahlensatz der Geometrie, da die darin enthaltenen Längen gegenüberliegende rechtwinklige Dreiecke bilden. Das muss uns aber gar nicht unbedingt kümmern. Wir nutzen das Abbildungsgesetz jedenfalls, um damit beispielsweise die Bildgröße ganz OHNE komplizierte Konstruktionen berechnen zu können. Dazu eine Aufgabe: „Ein vier Meter großer Elefant steht achtzig Meter entfernt von einer Sammellinse.“ „Er soll in einer Entfernung von zwölf Zentimetern hinter der Linse abgebildet werden.“ „Wie groß wird das Bild erscheinen?“ Es gilt also „groß-G“ gleich vier Meter, „klein-G“ gleich achtzig Meter, „klein-B“ gleich zwölf Zentimeter, und gesucht ist die Bildgröße „groß-B“. Wir nehmen „mal klein-B“, um die Gleichung nach „groß-B“ umzustellen, und setzen ein. Da sich die Meter herauskürzen, brauchen wir hier die Einheiten gar nicht erst umzurechnen. Das Ergebnis beträgt damit Null Komma sechs Zentimeter. So klein wird der Elefant durch die Linse abgebildet – was sehr hilfreich ist, wenn man ein Foto davon mit nach Hause nehmen möchte. Wie sieht es aus, wenn nach der „Gegenstandsweite“ gefragt wird? Zum Beispiel: „Wie nah müssen wir mit einer Lupe an eine zwei Millimeter große Ameise herangehen, um sie auf einen Zentimeter vergrößert zu sehen, wenn wir die Lupe zwanzig Zentimeter von unserem Auge entfernt halten?“ Gegeben ist also „groß-G“ gleich zwei Millimeter, „groß-B“ gleich ein Zentimeter, „klein-B“ gleich zwanzig Zentimeter, und gesucht ist der Abstand „klein-G“ zwischen Ameise und Lupe. Wir nehmen hier besser die umgetauschte Version der Gleichung, um sie mit „mal groß-G“ schnell umstellen zu können. Beim Einsetzen können wir uns auch in diesem Fall schenken, alles umzurechnen. Das Ergebnis beträgt vierzig Millimeter. Also „vier Zentimeter“ müssen zwischen Lupe und Ameise sein. Das Abbildungsgesetz gilt immer bei Abbildungen mit einer Sammellinse, auch wenn nur ein „virtuelles Bild“ entsteht, was zum Beispiel bei der Lupe der Fall ist, wenn sich der Gegenstand innerhalb der Brennweite „F“ der Linse befindet. Solche komplizierten Konstruktionen können wir uns also sparen und stattdessen das Abbildungsgesetz anwenden. Fassen wir alles zusammen: Einfache „optische Abbildungen“ eines „Gegenstands“ mit einer Sammellinse können auf der „optischen Achse“ konstruiert werden. Gegenstandsgröße „groß-G“, Gegenstandsweite „klein-G“, Bildweite „klein-B“ und Bildgröße „groß-B“, hängen über das „Abbildungsgesetz“ zusammen, womit jede der Größen jeweils aus den drei anderen berechnet werden kann. Der „Abbildungsmaßstab“ beschreibt die Vergrößerung oder Verkleinerung, die durch die Abbildung erfolgt. Je größer und je näher sich der Gegenstand am zweiten Brennpunkt der Linse befindet, desto größer, aber auch weiter entfernt, entsteht ein scharfes Bild. Bei jeder optischen Abbildung sollte man jedoch darauf vorbereitet sein, was man da entdecken könnte.
Optische Abbildungen Übung
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Vervollständige die Konstruktion des Bildes.
TippsDer Parallelstrahl verläuft parallel zur optischen Achse der Linse und wird so gebrochen, dass er hinter der Linse durch den Brennpunkt geht.
Ein Brennpunktstrahl verläuft von einem Punkt des Objekts durch den Brennpunkt vor der Linse und wird parallel zur optischen Achse gebrochen.
Der Mittelpunktstrahl verläuft von einem Punkt des Objekts direkt durch die Mitte der Linse und setzt seinen Weg gerade fort, ohne gebrochen zu werden.
LösungDie Konstruktion eines Bildes in der geometrischen Optik bezieht sich oft auf die Bildbildung durch Linsen oder andere optische Systeme. In diesem Zusammenhang spielen die Begriffe Parallelstrahl, Brennpunktstrahl und Mittelpunktstrahl eine wichtige Rolle:
- Parallelstrahl: Dieser Strahl verläuft parallel zur optischen Achse eines Linsensystems. Trifft er auf eine Linse, wird er an der Linsenebene so gebrochen, dass er durch den Brennpunkt auf der anderen Seite läuft.
- Brennpunktstrahl: Ein Brennpunktstrahl verläuft von einem Punkt des Objekts durch den Brennpunkt der Linse. Trifft der Brennpunktstrahl auf die Linse, wird er gebrochen und verläuft dann parallel zur optischen Achse.
- Mittelpunktstrahl: Der Mittelpunktstrahl verläuft von einem Punkt des Objekts direkt durch die Mitte der Linse und setzt seinen Weg gerade fort, ohne gebrochen zu werden.
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Benenne die Formelbuchstaben.
TippsHier siehst du die Gegenstandsgröße.
Die Entfernung des Objekts von der Linse bestimmt die Gegenstandsweite.
Der Brennpunkt ist der Punkt, an dem parallele Lichtstrahlen nach Durchqueren der Linse zusammenlaufen oder zusammenzulaufen scheinen.
Lösung- Gegenstandsgröße $(G)$: Dies ist die physische Größe des Objekts, das wir abbilden möchten. Wenn wir zum Beispiel ein Bild von einem Baum machen, dann sind die Höhe und die Breite des Baumes seine Gegenstandsgröße.
- Gegenstandsweite $(g)$: Die Entfernung des Objekts von der Linse bestimmt die Gegenstandsweite. Wenn wir ein Bild von diesem Baum machen, dann ist die Entfernung des Baumes von der Kamera oder der Linse die Gegenstandsweite.
- Bildgröße $(B)$: Das ist die Größe des Bildes, das wir sehen, nachdem das Objekt durch die Linse abgebildet wurde. Die Höhe und die Breite des Baumes auf dem Foto sind seine Bildgröße.
- Bildweite $(b)$: Das ist die Entfernung des Bildes von der Linse.
- Brennpunkt $(F)$: Der Brennpunkt ist der Punkt, an dem parallele Lichtstrahlen nach Durchqueren der Linse zusammenlaufen oder zusammenzulaufen scheinen. Es gibt zwei Brennpunkte bei einer Linse, die mit $F_1$ beziehungsweise $F_2$ bezeichnet werden.
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Vervollständige die Sätze zu optischen Abbildungen.
TippsHier siehst du die Entstehung eines virtuellen Bildes.
In dieser Abbildung siehst du das Abbildungsgesetz.
Eine dickere Linse hat eine kürzere Brennweite.
Lösung- Wächst die Gegenstandsweite $\boldsymbol{g}$, wird das Bild kleiner und rückt näher an die Linse heran.
- Rückt der Gegenstand näher an den zweiten Brennpunkt $\boldsymbol{F_2}$ der Linse heran, wird das Bild größer und entfernt sich von der Linse.
- Ist die Gegenstandsweite kleiner als die Brennweite der Linse, ist das entstandene Bild vergrößert im Vergleich zum Gegenstand.
- Wird die Linse dicker, verkürzt sich die Brennweite und das Bild rückt näher an die Linse heran.
-
Berechne die Bildgröße $B$.
TippsHier siehst du eine Skizze zu der Aufgabe.
In der Aufgabenstellung sind folgende Größen gegeben:
- Gegenstandsgröße $G$: $6~\text{m}$
- Gegenstandsweite $g$: $60~\text{m}$
- Bildweite $b$: $10~\text{cm}$
Gesucht ist die Bildgröße $B$.
Verwende die Formel des Abbildungsgesetzes:
$\dfrac{G}{g}=\dfrac{B}{b}$
Löse die Formel nach $B$ auf:
$\dfrac{G}{g}=\dfrac{B}{b}~~~~~~~~~~~|\cdot b$
$B=\dfrac{G}{g}\cdot b$
LösungIn der Aufgabenstellung sind folgende Größen gegeben:
- Gegenstandsgröße $G$: $6~\text{m}$
- Gegenstandsweite $g$: $60~\text{m}$
- Bildweite $b$: $10~\text{cm}$
Gesucht ist die Bildgröße $B$.
Für die Berechnung verwenden wir die Formel des Abbildungsgesetzes:
$\dfrac{G}{g}=\dfrac{B}{b}$
Die Formel lösen wir nun nach $B$ auf:
$\dfrac{G}{g}=\dfrac{B}{b}~~~~~~~~~~~|\cdot b$
$B=\dfrac{G}{g}\cdot b$
Jetzt setzen wir die gegebenen Werte ein. Da sich die Meter herauskürzen, brauchen wir hier die Zentimeter gar nicht erst umzurechnen:
$B=\dfrac{6~\text{m}}{60~\text{m}}\cdot 10~\text{cm}$
$B= 0,1 \cdot 10~\text{cm}$
$B= 1~\text{cm}$
Antwort: Das Bild des Baumes wird einen Zentimeter groß erscheinen.
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Benenne die richtige Formel für das Abbildungsgesetz.
TippsHier siehst du die Bildkonstruktion an einer Linse.
Hier siehst du das Abbildungsgesetz mit den Fachbegriffen: Erinnerst du dich an die Formelbuchstaben?
Hier kannst du dir die Formelbuchstaben zu den Fachbegriffen noch einmal anschauen.
LösungDer korrekte mathematische Ausdruck für das Abbildungsgesetz lautet:
$\dfrac{G}{g} = \dfrac{B}{b} ~$ oder auch $~ \dfrac{g}{G} = \dfrac{b}{B}$
Die Größe $G$ ist dabei die Gegenstandsgröße, also die physische Größe des Objekts, welches abgebildet werden soll, während $g$ die Entfernung zwischen der Linse und dem Gegenstand darstellt.
Die Größe $B$ ist die Bildgröße, also die Größe der Abbildung des Objekts, und $b$ beschreibt dabei die Entfernung des Bildes zur Linse.
Die Formel drückt das Verhältnis zwischen Gegenstandsgröße und Gegenstandsweite aus und setzt es ins Verhältnis zu Bildgröße und Bildweite. Diese Formel sagt aus, dass das Verhältnis der Gegenstandsgröße zur Gegenstandsweite gleich dem Verhältnis der Bildgröße zur Bildweite ist.
Das Abbildungsgesetz gilt für die Bildung von Bildern durch Linsen oder optische Systeme. Es ermöglicht, die Bildgröße und die Bildweite zu berechnen, wenn die Größe und die Position des Gegenstands bekannt sind, und umgekehrt.
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Berechne den Abstand zwischen Schmetterling und Lupe.
TippsHier siehst du eine Skizze zu der Aufgabe.
In der Aufgabenstellung sind folgende Größen gegeben:
- Gegenstandsgröße $G$: $5~\text{cm}$
- Bildgröße $B$: $15~\text{cm}$
- Bildweite $b$: $30~\text{cm}$
Gesucht ist die Gegenstandsweite $g$.
Wir wenden das Abbildungsgesetz an:
$\dfrac{G}{g}=\dfrac{B}{b}$
Nun lösen wir nach $g$ auf:
$\dfrac{G}{g}=\dfrac{B}{b}~~~~~~~~~~~~|\cdot g$
$G=\dfrac{B}{b}\cdot g~~~~~~~~| \cdot \dfrac{b}{B}$
$g=G \cdot \dfrac{b}{B}$
LösungIn der Aufgabenstellung sind folgende Größen gegeben:
- Gegenstandsgröße $G$: $5~\text{cm}$
- Bildgröße $B$: $15~\text{cm}$
- Bildweite $b$: $30~\text{cm}$
Gesucht ist die Gegenstandsweite $g$.
Wir wenden das Abbildungsgesetz an:
$\dfrac{G}{g}=\dfrac{B}{b}$
Nun lösen wir nach $g$ auf:
$\dfrac{G}{g}=\dfrac{B}{b}~~~~~~~~~~~~|\cdot g$
$G=\dfrac{B}{b}\cdot g~~~~~~~~| \cdot \dfrac{b}{B}$
$g=G \cdot \dfrac{b}{B}$
Als Letztes setzen wir die gegebenen Werte ein:
$g=5~\text{cm} \cdot \dfrac{30~\text{cm}}{15~\text{cm}}$
$g=10~\text{cm}$
Antwort: Die Lupe muss zehn Zentimeter vom Schmetterling entfernt gehalten werden, um ihn so vergrößert zu sehen, dass seine Flügelspannweite $15$ Zentimeter beträgt.
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Hallo Alicia, Danke für deine Rückmeldung. Leider sind Namen von Gesetzen und Formeln in der Physik nicht immer einheitlich. Üblich ist es, wie auch in diesem Video, unter Abbildungsmaßstab das Verhältnis aus Bildgröße und gegenstandsgröße (also B/G) zu verstehen, sozusagen die "Vergrößerung", während mit dem Wort Abbildungsgesetz die Gleichungen b/B=g/G bzw. B/G=b/g gemeint sind.
Lieben Gruß! Deine Redaktion
Es ist ein tolles Video, aber heißt das Abbildungsgesetz nicht B durch G = b durch g? Oder ist der Abbildungsmaßstab etwas anderes?
Danke für den Physikalischen Einblick!
Hallo cooles Video