Flaschenzug (Übungsvideo)

Was ist ein Flaschenzug?

Manche Gegenstände sind eigentlich viel zu schwer, um sie anzuheben – selbst, wenn man sehr sportlich ist, kann man nicht genug Zugkraft aufbringen, um ein Auto anzuheben. Ein einfacher Flaschenzug ist eine Maschine, die genau das möglich macht. Das Prinzip des Flaschenzugs beruht auf der goldenen Regel der Mechanik:

Verlängere den Weg, um Kraft zu sparen!

Ein Flaschenzug besteht aus zwei oder mehreren Umlenkrollen und einem Seil, an dem das zu hebende Gewicht hängt. Durch die spezielle Anordnung wird die nötige Zugkraft verringert, der erforderliche Weg aber verlängert.

Wie funktioniert ein Flaschenzug?

Stellen wir uns zunächst vor, wir wollen eine Gartenmauer aus großen Feldsteinen bauen. Dazu müssen wir einen schweren Stein auf die Höhe $h$ anheben, um die zweite Schicht zu legen. Beim ersten Versuch benutzen wir nur eine Umlenkrolle, wie im folgenden Bild gezeigt:

Wenn wir den Stein auf die Höhe $h$ heben wollen, müssen wir das Seil auf der rechten Seite auch um die Strecke $s = h$ nach unten ziehen. Die notwendige Zugkraft ist in diesem Fall gleich der Gewichtskraft, also:

$ F_G = m \cdot g $

Dabei sind $F_G$ die Kraft, $m$ die Masse des Steins und $g$ die Fallbeschleunigung. Wenn der Stein zum Beispiel $100 ~\text{kg}$ wiegt, ist es extrem schwer, ihn anzuheben.

Betrachten wir jetzt die Situation mit zwei Umlenkrollen, so wie in der folgenden Abbildung gezeigt:

Die Gewichtskraft verteilt sich jetzt auf zwei Seilstücke, wobei ein Teil der Kraft von der Halterung an der Decke aufgebracht wird. Es muss also nur noch die halbe Kraft aufgebracht werden, um den Stein anzuheben. Gleichzeitig verteilt sich aber auch die Strecke $s$, um die wir das Seil nach unten ziehen, auf zwei Seilstücke. Wenn wir das Seil auf der rechten Seite um eine Strecke $s = h$ nach unten ziehen, wird der Stein nur auf die Höhe $h = \frac{1}{2} \cdot s$ angehoben. Um die Höhe $h$ zu erreichen, müssen wir also die doppelte Strecke ziehen. Wir brauchen also nur noch die halbe Kraft, müssen aber um die doppelte Strecke ziehen.

Wie können wir für einen Seil-Flaschenzug mit $n$ Rollen die Zugkraft berechnen?

Um eine Formel für die notwendige Zugkraft in einem Flaschenzug aufzustellen, nutzen wir den Zusammenhang zwischen Kraft, Weg und mechanischer Arbeit $W$:

$W = F_z \cdot s$

Mit $F_z$ bezeichnen wir die Zugkraft, die wir aufbringen müssen, und mit $s$ die Strecke, um die wir das Seil ziehen. $W$ ist die dabei aufgebrachte Arbeit. Umgestellt ergibt sich die folgende Proportionalität:

$F_Z \propto \frac{1}{s} $

Die Zugkraft ist proportional zu $\frac{1}{s}$. Je größer die Strecke $s$ bei gleicher Arbeit $W$ wird, desto kleiner wird die nötige Zugkraft $F_Z$. Man kann auch sagen:

Die Zugkraft $F_Z$ ist umgekehrt proportional zur Strecke s.

Im Fall von zwei Rollen mussten wir im Gegensatz zu einer Rolle $s = 2 \cdot h$ wählen, um die Höhe $h$ zu erreichen. Dabei hatte sich die nötige Zugkraft halbiert: $F_z = \frac{1}{2} F_G .$ Nutzen wir vier Rollen, verteilt sich die Kraft auch auf vier Seilstücke. Das ist in der folgenden Abbildung zu sehen:

Damit ist $F_z = \frac{1}{4} \cdot F_G .$ Wir können das Flaschenzugprinzip allgemein so formulieren: Teilt sich die Zugkraft auf $n$ gleich lange Seilstücke auf, so ist die zu ziehende Strecke $n$-mal so lang und die Zugkraft gleich der Gewichtskraft geteilt durch $n$. Also:

$F_z = \frac{F_G}{n} $ und $s = h\cdot n$

Da bei diesem Aufbau des Flaschenzugs die Anzahl der Seilstücken als Faktor auftritt, wird er Faktorenflaschenzug genannt.

Der Potenzflaschenzug

Der Potenzflaschenzug ist ein Aufbau mit einer etwas anderen Funktionsweise. In der folgenden Abbildung ist beispielhaft eine Ausführung mit drei losen und einer festen Rolle gezeigt.

Das Grundprinzip ist das gleiche wie zuvor: An jeder Umlenkrolle teilt sich die Zugkraft auf die beiden Seilstücke auf. An der ersten Rolle gilt also $F_1 = \frac{1}{2} F_G$ für die beiden Seilstücke links und rechts der Rolle. Auch an der zweiten Rolle wird die Kraft halbiert. Allerdings zieht an dieser Rolle nicht mehr $F_G$, sondern nur noch $F_1 = \frac{1}{2} F_G$. An der dritten Rolle zieht also nur noch $F_2 = \frac{1}{2} F_1$. An der vierten (festen) Rolle ist es genauso: $F_3 = \frac{1}{2} F_2$. Insgesamt muss also die folgende Zugkraft aufgebracht werden:

$F_{Z} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot F_G = ( \frac{1}{2} )^3 \cdot F_G = \frac{F_G}{8}$

Bei drei losen Rollen muss daher nur noch ein Achtel der Gewichtskraft aufgebracht werden. Dafür muss um die 8-fache Strecke gezogen werden. Die Anzahl der Rollen taucht hier als Potenz auf – daher kommt auch der Name Potenzflaschenzug. Die allgemeine Formel für den Potenzflaschenzug lautet:

$F_z = \frac{F_G}{2^{n}}$ und $s = 2^{n} \cdot h$

Mit einem Potenzflaschenzug lässt sich die notwendige Zugkraft also mit weniger Aufwand verringern. Dafür wird aber die Strecke, die man an dem Zugseil ziehen muss, schnell sehr lang.

Und wo findet man einen Flaschenzug im Alltag?

Im Alltag lassen sich viele Flaschenzugbeispiele finden. Kletterer benutzen beispielsweise Flaschenzüge, um sich selbst an einem Seil hochziehen zu können. Auch große Kräne arbeiten in der Regel mit Flaschenzügen, um schwere Lasten zu heben. Dann wird meist eine kompaktere Bauweise gewählt, in der die Rollen nicht nebeneinander, sondern auf einer Achse liegen. Meist sind sie nicht sichtbar, sondern in einem Gehäuse versteckt.

Warum heißt der Flaschenzug Flaschenzug?

Der Name Flaschenzug hat nichts mit Flaschen für Getränke zu tun, wie man vielleicht denken könnte. Vielmehr wurden im 18. Jahrhundert die aus Holz gefertigten Gehäuse der Umlenkrollen umgangssprachlich als Flaschen bezeichnet, weil sie eine ähnliche Form hatten.