Erstellen von s-t- und v-t-Diagrammen für Bewegungen

Erstellen von s-t- und v-t-Diagrammen für Bewegungen Übung

• Zeige, welche Diagramme zueinander passen.

  Tipps

  Bleibt die Strecke konstant, ist die Geschwindigkeit $v = 0$.

  Das Vorzeichen der Geschwindigkeit ändert sich mit der Richtung der Bewegung.

  Bewegt sich das Diagramm der Strecke auf die $x$-Achse zu, so muss die Geschwindigkeit negativ sein.

  Lösung

  In diesem $s(t)$-Diagramm liegt ein linearer Zusammenhang zwischen der Strecke und der Zeit vor. Zudem nimmt die Entfernung vom Startpunkt aus zu. Wir wissen bereits, dass eine lineare Funktion im $s(t)$-Diagramm eine konstante Funktion im zugehörigen $v(t)$-Diagramm ergibt.

  Das Vorzeichen der konstanten Funktion $v(t)$ ist an der Steigung der Funktion $s(t$) ablesbar. Ist die Steigung positiv, also vom Startpunkt weg gerichtet, ist auch die Geschwindigkeit positiv.

  Dieser Zusammenhang ist im Rahmen dieser Aufgabe gesucht.

  Ist die Bewegung jedoch zum Startpunkt hin gerichtet, so ergibt sich eine negative Steigung und somit eine negative Geschwindigkeit.

  Wie du siehst, kannst du an der Steigung der Funktion $s(t)$ schon einige Informationen über die Geschwindigkeit der Bewegung ablesen.

• Gib an, wann eine konstante Geschwindigkeit vorliegt.

  Tipps

  Je schneller eine Bewegung ist, desto steiler verläuft der Graph für $s(t)$.

  Ist die Geschwindigkeit konstant, so ändert sie sich nicht über die Zeit $t$.

  Lösung

  Eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit sieht im $v(t)$-Diagramm anders aus als im $s(t)$-Diagramm.

  Im $v(t)$-Diagramm handelt es sich dabei um eine konstante Funktion, bei der $v(t) = v_0$ ist. Die Geschwindigkeit ändert sich also nicht mit der Zeit, sodass zu jedem Zeitpunkt $t$ die gleiche Geschwindigkeit $v_0$ vorliegt. Im Diagramm ergibt sich dann eine Gerade, die parallel zur $t$-Achse verläuft.

  Im $s(t)$-Diagramm ergibt eine konstante Geschwindigkeit eine lineare Funktion (Grafik). Die Strecke nimmt linear mit der Zeit zu. Das bedeutet, innerhalb unterschiedlicher Zeitabschnitte $t_1 = t_2$ wird dabei immer die gleiche Strecke $s_1 = s_2$ zurückgelegt. Im Diagramm ergibt sich damit eine lineare Funktion, wobei die Steigung der Funktion der Geschwindigkeit entspricht. Je schneller desto steiler. Denn dann wird eine große Strecke in kurzer Zeit zurückgelegt. Verläuft der Graph nach unten, so handelt es sich um eine negative Geschwindigkeit, also eine Bewegung auf den Startpunkt zu.

• Zeige die Zusammenhänge zwischen Geschwindigkeit und Wegstrecke einer Bewegung.

  Tipps

  Im Stillstand gilt $s(t) = s_0$.

  Bei einer gleichförmigen Bewegung gilt $s(t) = s_0 + v \cdot t$.

  Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt $s(t) = s_0 + v \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$.

  Lösung

  Wir wollen die Zusammenhänge zwischen $v(t)$- und $s(t)$-Diagrammen einmal genauer betrachten. Dazu beschreiben wir den Verlauf der Funktion $s(t)$ und weisen dieser die passende Funktion $v(t)$ zu.

  Fall 1
  Die Funktion $s(t)$ verläuft konstant. Das bedeutet, zu jedem Zeitpunkt $t$ gehört der gleiche Ort $s(t)$. Wir können sagen: Die Bewegung ist im Stillstand. Steht etwas still, dann ist die Geschwindigkeit $v=0$. Damit ist das passende $v(t)=0$ das zugehörige Diagramm.

  Fall 2
  Die Strecke nimmt linear mit der Zeit zu. Es ist $s(t) = s_0 + v \cdot t$. Bei dieser gleichförmigen Bewegung ist die Geschwindigkeit nun konstant. Für $v(t)$ gilt somit $v(t) = v = const.$ Nimmt die Strecke linear mit der Zeit ab, bewegt man sich also auf den Startpunkt zu, so ist $s(t) = s_0 - v \cdot t$. Die Geschwindigkeit muss in diesem Fall $v(t) = -v = const.$ sein.

  Fall 3
  Die Strecke nimmt parabelförmig zu. Nun gilt $ s(t) = s_0 + v \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$. Diese Bewegung wird als gleichmäßig beschleunigte Bewegung bezeichnet. Die Geschwindigkeit nimmt mit der Zeit zu, da die Bewegung ja beschleunigt ist. Es gilt $v(t) = v_0 + a \cdot t$. Die Geschwindigkeit ist hier nun eine Gerade.

• Zeige das zugehörige $v(t)$-Diagramm.

  Tipps

  Die Steigung der Funktion $s(t)$ lässt Rückschlüsse auf die Geschwindigkeit $v(t) $ zu.

  Ist die Funktion der Geschwindigkeit konstant, so ist die Strecke eine lineare Funktion.

  Lösung

  Im gezeigten $s(t)$-Diagramm liegt der Startpunkt bei $s_0 = 0m$. Nach $t=7 min$ ist der Punkt $s(7) = 200m$ erreicht.

  Gesucht ist nun das Diagramm der Geschwindigkeit, welches diese Bewegung korrekt abbildet.

  Wie wir bereits wissen, muss man die Steigung der Funktion $s(t)$ ermitteln, um Informationen über $v(t)$ zu erhalten. Zudem handelt es sich um eine lineare Funktion der Wegstrecke, also muss die Funktion $v(t)$ konstant sein.

  In der Aufgabenstellung wird ein Diagramm gezeigt, in dem eine Strecke von $s=200m$ in der Zeit von $t = 7 min$ zurückgelegt wird. Die durchschnittliche Geschwindigkeit beträgt also $ v = \frac{s}{t} = 28,57\frac{m}{s}$.

  Beachte unbedingt die Bezeichnung der Achsen in den Diagrammen.

• Gib an, was eine negative Geschwindigkeit ist.

  Tipps

  Wir müssen eine Bewegung nach ihrer Richtung unterscheiden.

  Bezugspunkt einer Bewegung ist immer der Startpunkt.

  Lösung

  Eine negative Geschwindigkeit hängt mit der Richtung der Bewegung und nicht mit dem Betrag der Geschwindigkeit zusammen.

  In der Grafik siehst du zwei Zwillinge, die in entgegengesetzte Richtung laufen. Max läuft nach links, Moritz (grau hinterlegt) läuft nach rechts. Beide laufen mit der gleichen, konstanten Geschwindigkeit. Der Unterschied besteht damit allein in der Richtung der Bewegung.

  Um diese Tatsache im Koordinatensystem $v(t)$ sichtbar zu machen, wird die Richtung in Form des Vorzeichens berücksichtigt werden. Max läuft in die entgegengesetzte Richtung (im Vergleich zu Moritz. Von daher wird das Vorzeichen umgekehrt, sodass wir sagen könnten : $v_{Max} = - v_{Moritz}$.

  Wie du sehen kannst, gibt das Vorzeichen der Geschwindigkeit die Richtung der Bewegung an, sodass wir unterscheiden können, in welche Richtung von einem Startpunkt aus gesehen eine Bewegung abläuft.

• Bestimme das passende $s(t)$-Diagramm.

  Tipps

  Die Steigung des Diagramms s(t) entspricht der Geschwindigkeit.

  Lösung

  Wie wir bereits gelernt haben, ist die Geschwindigkeit $v(t)$ äquivalent zur Steigung des Diagramms der Steigung $s(t)$.

  In diesem Beispiel haben wir nun eine Bewegung, die in mehreren Abschnitten unterschiedliche Geschwindigkeiten aufweist.

  Bereich 1) Der Bereich 1 erstreckt sich von $t=0 min$ bis $t=4 min$. In dieser Zeit liegt eine gleichmäßig, positiv beschleunigte Bewegung vor. Die Funktion $s(t)$ muss also parabelförmig steigen.

  Bereich 2) Dieser erstreckt sich von $t=4$ bis $t=5$. Die Geschwindigkeit nimmt hier gleichmäßig ab. Dieser Bereich muss im $s(t)$-Diagramm also exponentiell abnehmen.

  Bereich 3) Nach $t=5s$ bleibt die Geschwindigkeit konstant. Die Bewegung ist nun gleichförmig. Bei einer gleichförmigen Bewegung nimmt die Strecke gleichmäßig zu.