Bewegung und Geschwindigkeit

Bewegung und Geschwindigkeit Übung

• Vervollständige die Übersicht über die Geschwindigkeit.

  Tipps

  Zwischen Start und Ziel liegt die Strecke.

  Mit der Stoppuhr wird die Zeit gemessen.

  Das Formelzeichen für die Geschwindigkeit leitet sich von dem lateinischen Wort „velocitas“ ab.

  Lösung

  Um die Geschwindigkeit eines Objektes zu bestimmen, muss man wissen, wie weit es innerhalb einer bestimmten Zeit gekommen ist.

  Etwas physikalischer ausgedrückt: Die Geschwindigkeit entspricht der zurückgelegten Strecke pro Zeit.

  Als Gleichung ausgedrückt, sieht das so aus:

  $\text{Geschwindigkeit} = \dfrac{\text{Strecke}}{\text{Zeit}}$

  Die Formelzeichen für Geschwindigkeit, Strecke und Zeit leiten sich alle aus dem Lateinischen ab:

  • Geschwindigkeit $\rightarrow$ lat. „velocitas“ $\rightarrow$ Formelzeichen $v$
  • Strecke $\rightarrow$ lat. „spatium“ (eigentlich heißt das „Raum“ oder „Ausdehnung“) $\rightarrow$ Formelzeichen $s$
  • Zeit $\rightarrow$ lat. „tempus“ $\rightarrow$ Formelzeichen $t$

  Wenn es dir leichter fällt, dann kannst du dir aber auch einfach die deutschen oder englischen Wörter merken:

  • Geschwindigkeit $\rightarrow$ engl. „velocity“ $\rightarrow$ Formelzeichen $v$
  • Strecke $\rightarrow$ dt. „Strecke“ $\rightarrow$ Formelzeichen $s$
  • Zeit $\rightarrow$ engl. „time“ $\rightarrow$ Formelzeichen $t$

  Die gebräuchlichsten Einheiten sind:

  • für die Strecke, Meter ($\text{m}$)
  • für die Zeit, Sekunden ($\text{s}$)
  • für die Geschwindigkeit, Meter pro Sekunde $\left(\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)$

• Berechne die Geschwindigkeit von Schildkröte Bertie.

  Tipps

  Die Formel für die Geschwindigkeit ist $v=\dfrac{s}{t}$.

  Die Formelzeichen stehen für:

  • $v$: Geschwindigkeit
  • $s$: Strecke
  • $t$: Zeit

  Die zurückgelegte Strecke entspricht der Rennbahnlänge.

  Die Rennbahnlänge ($s=5~\text{m}$) und die dafür benötigte Zeit ($t=25~\text{s}$) müssen in die Formel für die Geschwindigkeit $v$ eingesetzt werden.

  Lösung

  Aus dem Einleitungstext können wir alle notwendigen Informationen herauslesen, um herauszufinden, wie schnell die Schildkröte Bertie unterwegs war.

  Wir müssen wissen, welche Strecke $s$ die Schildkröte in welcher Zeit $t$ zurückgelegt hat. Die zurückgelegte Strecke entspricht der Länge der Rennbahn, die Gesa abgesteckt hat. Es gilt also:

  $s=5~\text{m}$

  Gesa hat gemessen, dass Bertie vom Startpunkt bis zu dem Salatblatt im Ziel $25$ Sekunden benötigt hat. Damit gilt:

  $t=25~\text{s}$

  Diese beiden Werte können wir nun in die Geschwindigkeitsgleichung einsetzen:

  $v = \dfrac{s}{t} = \dfrac{5~\text{m}}{25~\text{s}} = \color{#99CC00}{0{,}2~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}$

  Bertie hat eine Geschwindigkeit von $0{,}2~\frac{\text{m}}{\text{s}}$ erreicht.

  Umgerechnet sind das $0{,}72~\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Das Wettrennen gegen den Geparden kann er wohl nur mit einer List gewinnen ...

• Berechne den Wert der Geschwindigkeiten in einer anderen Einheit.

  Tipps

  Eine Geschwindigkeit in $\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ hat immer einen größeren Betrag als dieselbe Geschwindigkeit in $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

  Um von $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ zu $\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ zu kommen, muss man den Betrag mit $3{,}6$ multiplizieren.

  Um von $\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ zu $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ zu kommen, muss man den Betrag durch $3{,}6$ teilen.

  Eine Minute hat $60$ Sekunden.

  Lösung

  Für die Umrechnung von $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ in $\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ müssen wir uns zunächst überlegen, wie viele Meter ein Kilometer sind und wie viele Sekunden eine Stunde hat:

  Klar für uns ist:

  $1~\text{km} = 1\,000~\text{m}$

  Für die Umrechnung von Sekunden und Stunden kann man einen kleinen Umweg über Minuten machen. Wir wissen:

  ${60~\text{s} = 1~\text{min}}$ und ${60~\text{min} = 1~\text{h}}$

  Zusammengefasst ergibt das:

  ${1~\text{h} = 60 \cdot 60~\text{s} = 3\,600~\text{s}}$ oder umgekehrt ${1~\text{s} = \dfrac{1}{3\,600}~\text{h}}$

  Wir können eine Geschwindigkeit umrechnen, indem wir getrennt voneinander die Strecke von $\text{m}$ in $\text{km}$ umrechnen und die dafür benötigte Zeit von $\text{s}$ in $\text{h}$. Zum Beispiel so:

  $v = 1\,000~\dfrac{\text{m}}{\text{s}} = \dfrac{1\,000~\text{m}}{1~\text{s}} = \dfrac{1~\text{km}}{\frac{1}{3\,600}~\text{h}} = 3\,600~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

  Im letzten Schritt haben wir die Rechenregel angewendet, dass man durch einen Bruch teilt, indem man mit dem Kehrwert multipliziert, also:

  $ \dfrac{1}{\frac{1}{3\,600}} = \dfrac{3\,600}{1} \cdot \dfrac{1}{1} = 3\,600$

  Für die Umrechnung von $\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ in $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ können wir genauso vorgehen:

  $v = 3\,600~\dfrac{\text{km}}{\text{h}} = \dfrac{3\,600~\text{km}}{1~\text{h}} = \dfrac{3\,600\,000~\text{m}}{3\,600~\text{s}} = 1\,000~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

  Wir können die Umrechnung aber auch in einem Schritt durchführen, wenn wir uns klar machen, dass bei $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ zu $\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ der Zähler immer mit $1\,000$ multipliziert wird und der Nenner durch $3\,600$ geteilt wird. Egal was genau der Betrag der Geschwindigkeit ist, kommt man deswegen von $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ zu $\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$, indem man mit $3{,}6$ multipliziert.

  Für die Umrechnung von $\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ in $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ teilen wir durch $3{,}6$.

  
  

  Für die Werte in der Aufgabe finden wir mit diesen Vorüberlegungen folgende Paare:

  $30~\dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 30 \cdot 3{,}6 ~\dfrac{\text{km}}{\text{h}} = 108~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

  $36~\dfrac{\text{km}}{\text{h}} = 36\, {:}\, 3{,}6 ~\dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 10~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

  $15~\dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 15 \cdot 3{,}6 ~\dfrac{\text{km}}{\text{h}} = 54~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

  $7{,}2~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}= 7{,}2\, {:}\, 3{,}6 ~\dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 2~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

  Bei dem letzten Paar wurde die etwas ungewöhnliche Einheit $\dfrac{\text{m}}{\text{min}}$ verwendet. Du hättest dieses Paar als Letztes nach dem Ausschlussprinzip verbinden können.

  Aber auch diese ungewöhnliche Einheit kannst du problemlos umrechnen:

  Eine Geschwindigkeit von $60~\dfrac{\text{m}}{\text{min}}$ bedeutet, dass eine Strecke von $60~\text{m}$ innerhalb von einer Minute zurückgelegt wurde. Du weißt, dass eine Minute $60$ Sekunden hat. Das heißt, dass $60~\text{m}$ innerhalb von $60$ Sekunden zurückgelegt wurden oder eben $1~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

• Ordne die Geschwindigkeiten nach ihrer Größe.

  Tipps

  Achtung: Sieh dir die Einheiten ganz genau an!

  Denke an den Faktor $3{,}6$ bei der Umrechnung zwischen $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ und $\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.

  Für die Umrechnung von $\dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ zu $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ muss man mit $1\,000$ multiplizieren.

  Für die Umrechnung von $\dfrac{\text{cm}}{\text{min}}$ zu $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ muss man durch $6\,000$ teilen.

  Lösung

  Wir rechnen zunächst alle Geschwindigkeiten in $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ um, damit wir sie leichter miteinander vergleichen können. Dafür gehen wir wie folgt vor:

  Wir teilen die Angaben in $\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ durch $3{,}6$.

  Wir teilen die Angabe in $\dfrac{\text{cm}}{\text{min}}$ durch $100$ (für die Umrechnung von $\text{cm}$ zu $\text{m}$) und dann durch $60$ (für die Umrechnung von $\dfrac{1}{\text{min}}$ zu $\dfrac{1}{\text{s}}$).

  Wir mulitplizieren die Angaben in $\dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ mit $1\,000$.

  Wir finden so folgende Reihenfolge:

  1. Weinbergschnecke:

  $v=7~\dfrac{\text{cm}}{\text{min}}=7\,{:}\,100\,{:}\,60~\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 0{,}001~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

  2. Mensch:

  $v=5~\dfrac{\text{km}}{\text{h}} = 5\,{:}\,3{,}6~\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 1{,}4~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

  3. Feldhase:

  $v=70~\dfrac{\text{km}}{\text{h}} = 70\,{:}\,3{,}6~\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 19{,}4~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

  4. Sturmböe:

  $v=24~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

  5. ICE:

  $v=300~\dfrac{\text{km}}{\text{h}} = 300\,{:}\,3{,}6~\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 83{,}3~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

  6. Erde auf ihrer Umlaufbahn:

  $v=108\,000~\dfrac{\text{km}}{\text{h}} = 108\,000\,{:}\,3{,}6~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}= 30\,000~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

  7. Sternschnuppe:

  $v=60~\dfrac{\text{km}}{\text{s}} = 60 \cdot 1\,000~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}= 60\,000~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

  Hattest du diese Reihenfolge erwartet?

• Bestimme, ob die Geschwindigkeiten auf der linken Seite größer, kleiner oder gleich denen auf der rechten Seite sind.

  Tipps

  Erinnere dich an die Formel für die Geschwindigkeit:

  $\left(v = \dfrac{s}{t}\right)$

  Manchmal ist es nicht notwendig, die Geschwindigkeit zu berechnen.

  Insbesondere, wenn die Strecke oder die Zeit auf beiden Seiten identisch sind, kannst du dir eine Rechnung sparen.

  Wenn die zurückgelegte Strecke bei zwei Bewegungen gleich groß ist, ist ihre exakte Länge für den Vergleich der Geschwindigkeiten nicht wichtig.

  Die Vergleichszeichen bedeuten:

  • $a < b$ $\rightarrow$ "$a$ ist kleiner als $b$" (z. B. $2 < 4$)
  • $a > b$ $\rightarrow$ "$a$ ist größer als $b$" (z. B. $4 > 2$)
  • $a = b$ $\rightarrow$ "$a$ ist genau so groß wie $b$" (z. B. $2 = 2$)

  Lösung

  • $25~\text{m}$ schwimmen in $20~\text{s}$ $\color{#99CC00}{\textbf{<}}$ $25~\text{m}$ rudern in $10~\text{s}$

  $\Rightarrow$ Die Geschwindigkeit beim Schwimmen ist ${v= \dfrac{25}{20}~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}=1{,}25~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}$ und die beim Rudern ${v= \dfrac{25}{10}~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}=2{,}5~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}$. Das heißt, die Rudergeschwindigkeit ist doppelt so hoch wie die Schwimmgeschwindigkeit. Hier sind auf beiden Seiten die zurückgelegten Strecken gleich groß. Du musst deswegen nicht unbedingt die Geschwindigkeit berechnen. Stattdessen kannst du dir auch überlegen, dass beim Rudern die gleiche Strecke in der Hälfte der Zeit zurückgelegt wird. Das ist nur möglich, wenn die Geschwindigkeit beim Rudern doppelt so hoch ist wie beim Schwimmen.

  • $15~\text{km}$ Radtour in einer Stunde $\color{#99CC00}{\textbf{>}}$ $10~\text{km}$ Ausritt in einer Stunde

  $\Rightarrow$ Die Geschwindigkeit bei der Radtour ist $15~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ und beim Ausritt dagegen nur $10~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$. Bei der Radtour ist die Geschwindigkeit also höher. In diesem Fall sind auf beiden Seiten die benötigten Zeiten gleich groß. Wir müssen deswegen nicht unbedingt die Geschwindigkeit berechnen. Stattdessen können wir uns auch überlegen, dass bei der Radtour in der gleichen Zeit eine größere Strecke zurückgelegt wird als beim Ausritt, was nur möglich ist, wenn die Geschwindigkeit höher ist.

  • Zugfahrt Hannover–München in $5~\text{h}$ $\color{#99CC00}{\textbf{<}}$ Flug Hannover–München in $40~\text{min}$

  $\Rightarrow$ Hier können wir die genaue Geschwindigkeit der beiden Bewegungen nicht berechnen, weil wir für die zurückgelegte Strecke keinen genauen Wert kennen. Es genügt aber zu wissen, dass bei beiden Bewegungen dieselbe Strecke zurückgelegt wird und dass das Flugzeug dafür nur $40~\text{min}$ benötigt, der Zug hingegen $5~\text{h}$. Das Flugzeug ist also viel schneller: Es hat eine deutlich höhere Geschwindigkeit.

  • Tennisschmetterball mit $250~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ $\color{#99CC00}{\textbf{>}}$ Fußballelfmeter mit $100~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

  $\Rightarrow$ In diesem Fall können wir die Geschwindigkeiten direkt vergleichen. Sie sind nämlich in der gleichen Einheit angegeben, sodass wir einfach die Werte betrachten können. $250$ ist offensichtlich größer als $100$. Die Geschwindigkeit des Schmetterballs ist entsprechend höher als die des Elfmeters.

• Stelle die Gleichung um und berechne.

  Tipps

  Die Gleichung für die Strecke $s$ bekommst du, indem du die Gleichung $v=\dfrac{s}{t}$ mit $t$ multiplizierst.

  Die Gleichung für die Zeit $t$ erhältst du, indem du die Gleichung aus der ersten Teilaufgabe ($s=v \cdot t$) durch $v$ teilst.

  Um die erste Teilaufgabe zu lösen, musst du die Geschwindigkeit ${v=250~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}}$ und die Zeit $t=2~\text{h}$ in die Gleichung $s=v \cdot t$ einsetzen.

  Um die zweite Teilaufgabe zu lösen, musst du die Geschwindigkeit ${v=5~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}}$ und die Strecke $s=15~\text{km}$ in die Gleichung $t=\dfrac{s}{v}$ einsetzen.

  Lösung

  Erste Teilaufgabe

  Hier ist eine Strecke gesucht. Die Zeit und die Geschwindigkeit sind bekannt.
  Wir stellen also die Geschwindigkeitsgleichung so um, dass $s$ freisteht:

  $\begin{array}{llll} v &= &\dfrac{s}{t} &\vert \cdot t\\ v \cdot t &=& s & \end{array}$

  Wir können nun die gegebene Zuggeschwindigkeit von $v=250~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ und die Reisezeit $t=2~\text{h}$ in die Gleichung $s = v \cdot t$ einsetzen:

  $s = v \cdot t = 250~\dfrac{\text{km}}{\text{h}} \cdot 2~\text{h} = \color{#99CC00}{250~\text{km}}$

  
  

  Zweite Teilaufgabe

  Hier ist eine Zeit gesucht. Die Strecke und die Geschwindigkeit sind bekannt.
  Wir stellen also die Geschwindigkeitsgleichung so um, dass $t$ freisteht:

  $\begin{array}{llll} v &=& \dfrac{s}{t} &\vert \cdot t\\ v \cdot t &=& s &\vert {:}\, v\\ t &=& \dfrac{s}{v} & \end{array}$

  Wir können nun die gegebene Wandergeschwindigkeit von $v=5~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ und die Länge der Wanderroute $s=15~\text{km}$ in die Gleichung $t = \dfrac{s}{v}$ einsetzen:

  $t = \dfrac{s}{v} = \dfrac{15~\text{km}}{5~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}} = \color{#99CC00}{3~\text{h}}$

  Hoffentlich hat Chris an genügend Snacks gedacht!