Anwendung mittlere Geschwindigkeit

Hallo! Ich bin euer Physik-Siggi. Heute werde ich mit euch ein Beispiel zur kinetischen Gastheorie durchrechnen. Dies ist der 4. Film einer Reihe, die bei den Grundlagen startet, das Gasgesetz beschrieben hat und im 3. Film die Formeln der kinetischen Gastheorie hergeleitet hat. Die Formel für die mittlere Geschwindigkeit werden wir in diesem Film brauchen. Ich wiederhole mit euch also kurz das Verständnis der kinetischen Gastheorie und werde dann ein Beispiel durchrechnen. Dafür benötigt ihr ein Verständnis von der Kraft, dem Impuls, dem Zusammenhang der beiden Größen und vom Gasgesetz für das ideale Gas. Das Gasgesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen Druck, Volumen, Teilchenzahl und Temperatur eines idealen Gases. Hier noch einmal die Formel: der Druck × dem Volumen = der Teilchenzahl × der Boltzmann-Konstante k × der Temperatur. Zum Beispiel ist dann bei konstanter Teilchenzahl und bei konstantem Druck auch V/T konstant. Steigt das Volumen und bleibt gleichzeitig der Druck gleich, so muss auch die Temperatur steigen. Ist das logisch? Natürlich! Wenn das Volumen größer wird, aber noch gleich viele Teilchen im Volumen sind, dann müssen diese Teilchen ja auf jetzt viel größere Wände prallen. Wenn aber der Druck gleich bleiben soll, müssen sie dafür viel schneller gegen diese Wände prallen. Dieser Stoß mit den Wänden verursacht nämlich den Druck. Das heißt, die Teilchen kompensieren die größere Fläche, gegen die sie schieben müssen, indem sie einfach stärker, also schneller schieben. Sind die Teilchen schneller, so steigt die Temperatur. Dieser Zusammenhang wird in der kinetischen Gastheorie beschrieben. Als Wiederholung schildere ich euch kurz die Herleitung. Alle Gasteilchen haben eine mittlere Geschwindigkeit, deren Komponenten x, y, z gleich groß sind. Daraus ergibt sich über den Satz von Pythagoras vx²=1/3v². Wir betrachten ein Volumen V1, in dem die Teilchen sich befinden und gegen beide Wände drücken. Die Teilchen, die gegen die kleinen Wände stoßen, sind vernachlässigbar wenige. Die Anzahl der Gasteilchen, die also auf die rechte Fläche A prallen, ist also die Hälfte aller Teilchen. Also: ½ × der Teilchendichte N/V × dem Volumen V1. V1 ist allerdings = der Fläche A × der Strecke s. Jedes dieser Teilchen prallt gegen die Wand und lediglich die x-Komponente der Geschwindigkeit des Teilchens bringt einen Impuls. Die Impulsänderung = 2×m×vx. Die 2 deswegen, weil das Teilchen mit entgegengesetzter Richtung zurückfliegt. Wir wissen, das die Impulsänderung pro Zeitintervall der Kraft auf die Wand entspricht. Also ist F=Δp/Δt. Der Druck ist gleichzusetzen mit F / die Fläche A. Setzen wir dies ineinander ein und multiplizieren wir den Druck eines Teilchens mit der Teilchenzahl N1, so erhalten wir den Druck aller Teilchen. Das Volumen V1 eingesetzt, lässt die Fläche A herausfallen. Hier können wir noch einsetzen, dass die Strecke s = der Geschwindigkeit × Δt ist, und es kürzt sich Δt heraus. Bleibt als Letztes noch, für vx² 1/3v² einzusetzen. Und wir erhalten die wichtige Formel der kinetischen Gastheorie. Ihr seht also: Wenn der Druck steigt, so steigt auch die Geschwindigkeit, und zwar quadratisch. Soll die Geschwindigkeit der Teilchen doppelt so groß werden, so muss sich der Druck vervierfachen. 3× so große Geschwindigkeit bedeutet 9× so großer Druck, alles bei gleichbleibendem Volumen. Andersherum muss bei konstantem Druck die Geschwindigkeit auch größer werden, wenn das Volumen größer wird. Nach dem Gasgesetz steigt mit dem Volumen bei konstantem Druck auch die Temperatur. Wird also die Geschwindigkeit größer, so wird auch die Temperatur größer. Diesen Zusammenhang erhalten wir, wenn wir die obige Gleichung so umformen, dass ½mv² mit der kinetischen Energie ersetzt werden kann. Verglichen mit dem Gasgesetz erhalten wir den Zusammenhang zwischen Temperatur und kinetischer Energie. Eine Aufgabe dazu: Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit v der Luftteilchen im Normalzustand? Ihr wisst, dass die Dichte der Luft =1,29g/l beträgt; der normale Luftdruck ist 1013mbar. Zunächst sollten wir die Größen in bekannte Einheiten umwandeln. 1bar sind 1×10^5Pa (Pascal). Das ist die gewohnte Einheit von Druck. Nach Druck = Kraft pro Fläche, ist somit 1Pa=1N/m² (Newton pro m²). g/l müssen wir nur mit 1000 erweitern und schon haben wir 1,29kg/m³. In unserer Gleichung haben wir allerdings das Volumen und die Teilchenzahl und die Masse des Teilchens; Größen, die uns nicht bekannt sind. Rechts steht aber N×m/V da. Die Gesamtzahl der Teilchen × die Masse eines Teilchens = die Gesamtmasse. Und die Gesamtmasse durch das Gesamtvolumen geteilt = die Dichte der Luft. Somit erhalten wir: Der Druck = 1/3 × der Dichte × dem Quadrat der mittleren Teilchengeschwindigkeit. Jetzt ist alles gegeben oder gesucht. Dies können wir schnell nach der Geschwindigkeit umstellen und wir erhalten eine mittlere Teilchengeschwindigkeit der Luft von 485m/s. Dies noch ×3,6 nehmen, ergibt 1747km/h. Ich glaube, ein Flugzeug fliegt mit 2000km/h. Wie groß ist die Geschwindigkeit der Luftteilchen bei einer Temperatur von 50°C, wenn die Teilchendichte auf 2,58×10²⁵ Teilchen pro m³ abgeschätzt wird? Zunächst müssen wir °C in Kelvin (K) umrechen und wir erhalten eine Temperatur von 323K. Nun können wir die Energiegleichung bemühen. Setzen wir die kinetische Energie ein, so fehlt uns nur noch die Masse eines Teilchens, um die Geschwindigkeit ermitteln zu können. Wir wissen jedoch, dass die Teilchendichte × die Masse = der Dichte der Luft ist. Also können wir umstellen und erhalten: m = die Dichte / die Teilchendichte. Setzen wir dies ein, so erhalten wir die Masse eines Luftteilchens von 50×10^-27kg. Nun haben wir alles und können die obige Gleichung nach der mittleren Geschwindigkeit umstellen. Wir erhalten v=\sqrt((3×kB×T)/m), wobei der Wert der Boltzmann-Konstanten bei 1,38×10^-23J/K (Joule pro Kelvin) liegt. Setzen wir dies ein, so erhalten wir 517m/s. Dies sind 1862km/h. Hier noch kurz der Einheitencheck. Ihr seht, es funktioniert. Ich hoffe, ihr habt nun ein Verständnis für die kinetische Gastheorie und könnt beliebige Aufgaben zu diesem Kapitel einfach berechnen. Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!