Goldener Schnitt

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist der goldene Schnitt?
• Berechnung des goldenen Schnittes
• Konstruktion des goldenen Schnittes
• Wo kommt der goldene Schnitt vor?

Was ist der goldene Schnitt?

Der goldene Schnitt ist ein besonderes Teilungsverhältnis.

Zur Konstruktion schneidest du einen Streifen Papier so in zwei Teile, dass das Verhältnis des größeren (blau) zu dem kleineren (hellblau) Teilstück genau so groß ist, wie das Teilungsverhältnis des Ausgangsstreifens (rot) zu dem größeren (blau) Teilstück. Dieses Teilungsverhältnis ist der goldene Schnitt.

• Das größere Teilstück wird auch als Major und
• das kleinere als Minor bezeichnet.

Berechnung des goldenen Schnittes

$\Phi$ sei das gesuchte Teilungsverhältnis, der goldene Schnitt. Sei nun der rote Streifen $\Phi$ lang, dann ist der blaue Streifen $1$ lang, da

$\quad~~~\frac {\Phi}1$

das Teilungsverhältnis nach dem goldenen Schnitt ist. Da der blaue und der hellblaue Streifen zusammen $\Phi$ ergeben, muss der hellblaue Streifen $\Phi-1$ lang sein. Nun kannst du die Teilungsverhältnisse gleichsetzen:

$\quad~~~\frac {\Phi}1=\frac1{\Phi-1}$.

Multiplizierst du diese Gleichung mit $\Phi-1$, erhältst du $\Phi(\Phi-1)=1$ oder äquivalent dazu $\Phi^2-\Phi-1=0$. Dies ist eine quadratische Gleichung, welche du mit der p-q-Formel lösen kannst:

$\quad~~~\Phi_{1,2}=\frac12\pm\sqrt{\left(\frac12\right)^2+1}=\frac12\pm\sqrt{\frac 54}=\frac{1\pm\sqrt 5}{2}$.

Da das Teilungsverhältnis positiv sein muss, ist der goldene Schnitt gegeben durch

$\quad~~~\Phi=\frac{1 + \sqrt 5}{2}\approx1,618$.

Dieses Teilungsverhältnis ist nicht messbar, also inkommensurabel, das bedeutet, dass der goldene Schnitt eine irrationale Zahl ist.

Konstruktion des goldenen Schnittes

Hier siehst du eine mögliche Konstruktion des goldenen Schnitts der Strecke $\overline{AB}$.

• Zeichne die Hälfte der Strecke $\overline{AB}$ senkrecht zu dieser Strecke. So erhältst du den Punkt $C$.

• Verbinde die beiden Punkte $A$ und $C$ durch eine Hilfslinie miteinander.

• Nun zeichnest du einen Kreis um $C$ mit der halben Länge der Strecke $\overline{AB}$ als Radius. So erhältst du den Punkt $D$ als Schnittpunkt der Hilfslinie $\overline{AC}$ und des gezeichneten Kreisbogens.

• Zuletzt zeichnest du einen Kreis um $A$ mit der Länge der Strecke $\overline{AD}$ als Radius. Dort, wo dieser Kreis die Strecke $\overline{AB}$ schneidet, ist der Punkt $S$.

• Dieser Punkt $S$ teilt die Strecke $\overline{AB}$ im goldenen Schnitt. Das bedeutet

$\quad~~~\frac{\overline{AB}}{\overline{AS}}=\frac{\overline{AS}}{\overline{SB}}$.

Wo kommt der goldene Schnitt vor?

Der goldene Schnitt wird als besonders ausgewogen wahrgenommen. Er wird auch als Proportio divina oder göttliche Proportion bezeichnet.

Der goldene Schnitt ist in zahlreichen antiken Bauwerken, in Gemälden und auch in der Natur anzufinden.

So ist zum Beispiel das Verhältnis der Körpergröße eines Menschen zu der Höhe von den Füßen bis zu dem Bauchnabel nahezu der goldene Schnitt. Miss doch mal bei dir nach.